( \mathbf{6}\) pontos) Suponha que estamos trabalhando em uma fábrica de peças mecânicas, em que a dimensão de um componente é uma variável aleatória que pode ser modelada por
\[f(x)= \begin{cases}x+c, & \text { para }-1 \leq x<0 \\\ c-x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
sendo x\] a diferença entre o valor medido da peça e o valor alvo (ideal).
a) ( \(\mathbf{2} pt) Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade;
b) ( \mathbf{2} pt) Determine o valor esperado de X;
c) ( \mathbf{2} pt) Determine a probabilidade de que o diâmetro de uma peça tenha um desvio entre -0,5 e 0,5 unidades do valor ideal, isto é, P\left[-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}\right].
Passo 1
O enunciado fornece a função f(x) definida por partes (onde x é o desvio entre a peça medida e o valor alvo) e faz três pedidos:
(a) Determine o valor de c para que f seja uma função densidade de probabilidade.
(b) Determine o valor esperado de X.
(c) Calcule P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right].
Informações dadas (lista explícita):
f(x)= \begin{cases}x+c, & \text{ para }-1 \le x<0,\\[4pt] c-x, & \text{ para }0 \le x<1,\\[4pt] 0, & \text{ para outros }x.\end{cases}]
Passo 2
Explicando o que significa ser uma função densidade de probabilidade (curta aula): uma função f(x) é densidade quando satisfaz duas condições essenciais:
f(x)\ge 0 para todo x.
A integral de f em todo o espaço é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a função é nula fora de [-1,1), então basta garantir
Assim encontramos o valor de c. Também vale checar rapidamente que com c=1 a função é não negativa no suporte (sim, pois x+1\ge 0 em [-1,0] e 1-x\ge 0 em [0,1]).
Passo 6
Definição do valor esperado (curta aula): o valor esperado de uma variável contínua X\) com densidade \(f\) é
\[E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
De novo, aqui só precisamos integrar em [-1,1). Com c=1 a densidade fica
Interpretação rápida: a densidade é simétrica em torno de zero (pesos à esquerda e à direita se cancelam), por isso a média é zero.
Passo 8
Cálculo da probabilidade pedida (curta aula): para variáveis contínuas a probabilidade de X estar num intervalo [a,b] é a integral da densidade nesse intervalo:
P[a\le X\le b] = \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui queremos P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right]. Com c=1 e dividindo no zero: