( \mathbf{6}\) pontos) Suponha que estamos trabalhando em uma fábrica de peças mecânicas, em que a dimensão de um componente é uma variável aleatória que pode ser modelada por \[f(x)= \begin{cases}x+c, & \text { para }-1 \leq x<0 \\\ c-x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x\end{cases}
sendo x\] a diferença entre o valor medido da peça e o valor alvo (ideal). a) ( \(\mathbf{2} pt) Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade;
b) ( \mathbf{2} pt) Determine o valor esperado de X;
c) ( \mathbf{2} pt) Determine a probabilidade de que o diâmetro de uma peça tenha um desvio entre -0,5 e 0,5 unidades do valor ideal, isto é, P\left[-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x) definida por partes (onde x é o desvio entre a peça medida e o valor alvo) e faz três pedidos:
(a) Determine o valor de c para que f seja uma função densidade de probabilidade.
(b) Determine o valor esperado de X.
(c) Calcule P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right].
Informações dadas (lista explícita):
f(x)= \begin{cases}x+c, & \text{ para }-1 \le x<0,\\[4pt] c-x, & \text{ para }0 \le x<1,\\[4pt] 0, & \text{ para outros }x.\end{cases}]

Passo 2

Explicando o que significa ser uma função densidade de probabilidade (curta aula): uma função f(x) é densidade quando satisfaz duas condições essenciais:
  1. f(x)\ge 0 para todo x.
  2. A integral de f em todo o espaço é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a função é nula fora de [-1,1), então basta garantir
\int_{-1}^{0} (x+c)\,dx + \int_{0}^{1} (c-x)\,dx = 1.
Vou usar essa condição para encontrar c. Observação: o valor de f em pontos isolados não altera integrais, então detalhes em x=0 ou x=1 não importam.

Passo 3

Calculando cada integral para normalização (mostrando passo a passo):
Calcule
I_1=\int_{-1}^{0} (x+c)\,dx.
Separando,
I_1=\int_{-1}^{0} x\,dx + \int_{-1}^{0} c\,dx.
Agora cada termo:
\int_{-1}^{0} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2},
\int_{-1}^{0} c\,dx = c\cdot(0-(-1)) = c.
Portanto
I_1 = c - \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora o segundo termo da normalização:
I_2=\int_{0}^{1} (c-x)\,dx = \int_{0}^{1} c\,dx - \int_{0}^{1} x\,dx.
Calculando:
\int_{0}^{1} c\,dx = c\cdot(1-0)=c,
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Logo
I_2 = c - \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usando a condição de normalização:
I_1 + I_2 = (c-\tfrac{1}{2}) + (c-\tfrac{1}{2}) = 2c - 1.
Devemos ter 2c-1 = 1. Resolvendo:
2c - 1 = 1 \implies 2c = 2 \implies c = 1.
Assim encontramos o valor de c. Também vale checar rapidamente que com c=1 a função é não negativa no suporte (sim, pois x+1\ge 0 em [-1,0] e 1-x\ge 0 em [0,1]).

Passo 6

Definição do valor esperado (curta aula): o valor esperado de uma variável contínua X\) com densidade \(f\) é \[E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
De novo, aqui só precisamos integrar em [-1,1). Com c=1 a densidade fica
f(x)=\begin{cases}x+1, & -1\le x<0,\\[4pt] 1-x, & 0\le x<1,\\[4pt] 0, & \text{outros }x.\end{cases}
Vamos calcular (E[X]] dividindo a integral em duas partes.]

Passo 7

Cálculo de E[X] passo a passo:
E[X]=\int_{-1}^{0} x(x+1)\,dx + \int_{0}^{1} x(1-x)\,dx.
Expandindo os integrandos:
\int_{-1}^{0} (x^{2}+x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx.
Calcule a primeira integral:
\int_{-1}^{0} x^{2}\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{1}{3},
\int_{-1}^{0} x\,dx = -\tfrac{1}{2}.
Somando:
\int_{-1}^{0} (x^{2}+x)\,dx = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{6}.
Agora a segunda integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3},
\int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.
Somando as duas partes:
E[X] = -\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = 0.
Interpretação rápida: a densidade é simétrica em torno de zero (pesos à esquerda e à direita se cancelam), por isso a média é zero.

Passo 8

Cálculo da probabilidade pedida (curta aula): para variáveis contínuas a probabilidade de X estar num intervalo [a,b] é a integral da densidade nesse intervalo:
P[a\le X\le b] = \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui queremos P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right]. Com c=1 e dividindo no zero:
P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right] = \int_{-1/2}^{0} (x+1)\,dx + \int_{0}^{1/2} (1-x)\,dx.

Passo 9

Avaliação das integrais para a probabilidade:
Primeira integral:
\int_{-1/2}^{0} (x+1)\,dx = \int_{-1/2}^{0} x\,dx + \int_{-1/2}^{0} 1\,dx.
Calculando:
\int_{-1/2}^{0} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1/2}^{0} = 0 - \tfrac{1}{8} = -\tfrac{1}{8},
\int_{-1/2}^{0} 1\,dx = \tfrac{1}{2}.
Portanto a primeira parte vale \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.
Segunda integral:
\int_{0}^{1/2} (1-x)\,dx = \int_{0}^{1/2} 1\,dx - \int_{0}^{1/2} x\,dx = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.
Somando as duas partes:
P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right] = \tfrac{3}{8} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{4}.

Resposta

(a) \,c=1\,
(b) \,E[X]=0\,
(c) \,P\!\left[-\tfrac{1}{2}\le X\le \tfrac{1}{2}\right]=\tfrac{3}{4}

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