Sobre a teoria de funções vetoriais
Calcule \frac{d}{d t} \vec{f}(t) onde \vec{f}(t)=e^{t} \cos \left(t^{2}+2 t+1\right) \vec{i}+\ln \left(\frac{t^{2}+1}{\cos (t)}\right) \vec{j};

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d}{dt}\,\vec f(t), onde
\vec f(t)=e^{t}\cos\bigl(t^{2}+2t+1\bigr)\,\vec i +\ln\!\Bigl(\frac{t^{2}+1}{\cos t}\Bigr)\,\vec j.
O conteúdo envolve derivada de função vetorial feita componente a componente, usando regra do produto, regra da cadeia e derivada de log.

Passo 2

Derivamos a componente em \vec i:
f_{1}(t)=e^{t}\cos\bigl(t^{2}+2t+1\bigr).
Pela regra do produto,
f_{1}'(t) =\bigl(e^{t}\bigr)'\cos(\cdots) +e^{t}\,\bigl[\cos(\cdots)\bigr]'.
Como \bigl(e^{t}\bigr)'=e^{t} e
\bigl[\cos(u)\bigr]'=-\sin(u)\,u',\quad u=t^{2}+2t+1,\quad u'=2t+2,
vem
f_{1}'(t) =e^{t}\cos\bigl(t^{2}+2t+1\bigr) -e^{t}\,(2t+2)\sin\bigl(t^{2}+2t+1\bigr).

Passo 3

Derivamos a componente em \vec j:
f_{2}(t) =\ln\!\Bigl(\frac{t^{2}+1}{\cos t}\Bigr) =\ln(t^{2}+1)-\ln(\cos t).
Então
f_{2}'(t) =\frac{2t}{t^{2}+1} -\bigl(-\tfrac{\sin t}{\cos t}\bigr) =\frac{2t}{t^{2}+1}+\tan t.

Resposta

\frac{d}{dt}\,\vec f(t) =\Bigl[e^{t}\cos\bigl(t^{2}+2t+1\bigr) -e^{t}(2t+2)\sin\bigl(t^{2}+2t+1\bigr)\Bigr]\vec i +\Bigl(\frac{2t}{t^{2}+1}+\tan t\Bigr)\vec j.

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