( \mathbf{1} pontos) Dados os vetores \vec{a}=(2,-1,3) e \vec{b}=(1,4,-2) :
(a) Calcule \vec{a} \times \vec{b} (produto vetorial).
(b) Determine um vetor unitário ortogonal a ambos \vec{a} e \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(2,-1,3) e \vec{b}=(1,4,-2) em \mathbb{R}^3 e pede dois itens:
(a) o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}, que resulta num vetor perpendicular a ambos;
(b) um vetor unitário (módulo igual a 1) ortogonal a \vec{a} e \vec{b}.
Para isso, vamos usar a fórmula de coordenadas do produto vetorial e depois normalizar o resultado.

Passo 2

Aplicando a fórmula
\vec{a}\times\vec{b} =\bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1\bigr)
com \vec{a}=(a_1,a_2,a_3)=(2,-1,3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)=(1,4,-2), temos
\vec{a}\times\vec{b} =\bigl((-1)(-2)-3\cdot4,\;3\cdot1-2(-2),\;2\cdot4-(-1)\cdot1\bigr) =(-10,\;7,\;9).

Passo 3

Para normalizar, primeiro calculamos o módulo de \vec{a}\times\vec{b}:
\bigl\|\vec{a}\times\vec{b}\bigr\| =\sqrt{(-10)^2 + 7^2 + 9^2} =\sqrt{100 + 49 + 81} =\sqrt{230}.

Passo 4

O vetor unitário ortogonal a \vec{a} e \vec{b} é obtido dividindo-se \vec{a}\times\vec{b} pelo seu módulo. Assim, um vetor unitário é
\frac{1}{\sqrt{230}}\bigl(-10,\;7,\;9\bigr).
(Note que também poderíamos tomar o sinal oposto, \displaystyle-\frac{1}{\sqrt{230}}(-10,7,9), mas basta escolher um.)

Resposta

(a) \vec{a}\times\vec{b}=(-10,\,7,\,9).
(b) Um vetor unitário ortogonal é \displaystyle\frac{1}{\sqrt{230}}(-10,\,7,\,9).

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