( \mathbf{1}, \mathbf{5} pontos) Sejam os vetores \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,-1,2).
(a) Calcule \vec{u} \cdot \vec{v}.
(b) Determine o cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
(c) Verifique se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,-1,2) e pede:
– (a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v};
– (b) o cosseno do ângulo entre eles;
– (c) verificar se são ortogonais.
O conteúdo é produto escalar em \mathbb{R}^3, normas de vetor e a relação
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|},
além do critério de ortogonalidade \vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Aplicamos a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3:
\vec{u}\cdot\vec{v} =1\cdot3 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot2 =3 -2 -2 =-1.

Passo 3

Calculamos as normas:
\|\vec{u}\| =\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} =\sqrt{6}, \quad \|\vec{v}\| =\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} =\sqrt{14}.

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} =\frac{-1}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} =\frac{-1}{\sqrt{84}} =-\frac{1}{2\sqrt{21}}.

Passo 5

Para vetores ortogonais precisa valer \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Aqui \vec{u}\cdot\vec{v}=-1\neq0, logo não são ortogonais.

Resposta

(a) -1
(b) -\dfrac{1}{2\sqrt{21}}
(c) Não são ortogonais.

Exercícios relacionados