[ \mathbf{4 , 0} pontos] Em certa fila com 10 pessoas temos 7 mulheres e 3 homens. De quantas formas essa fila pode ser organizada de modo que as 7 mulheres estejam sempre juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de organizar em fila 10 pessoas distintas — sendo 7 mulheres e 3 homens — sob a condição de que as 7 mulheres fiquem sempre juntas. O conteúdo utilizado será o princípio de contagem por blocos e permutação de elementos distintos.

Passo 2

Quando precisamos que um conjunto de elementos (aqui, as 7 mulheres) fique sempre junto, podemos tratá-las como se formassem um único “super-elemento” ou bloco. Assim, em vez de organizar 10 itens, passamos a organizar 4 itens: o bloco das 7 mulheres e os 3 homens.

Passo 3

O número de maneiras de ordenar esses 4 itens distintos é dado por
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.

Passo 4

Dentro do bloco, as 7 mulheres podem ser permutadas entre si de 7! formas, pois são pessoas distintas. Logo,
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de filas possíveis é o produto das permutações do bloco com as permutações internas:
4! \times 7! = 24 \times 5040 = 120960.

Resposta

120960
(ou seja, 4! \times 7!)

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