Quantos números de 6 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O número está entre 500.000 e 800.000 , com todos os dígitos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de 6 dígitos existem tais que
– o número está entre 500000 e 800000, e
– todos os dígitos são distintos.
O conteúdo envolvido é contagem por permutação com restrição no primeiro dígito e sem repetição.

Passo 2

Para um número de 6 dígitos d_1d_2d_3d_4d_5d_6 estar entre 500000 e 800000, o primeiro dígito d_1 só pode ser 5, 6 ou 7.
Observação: embora 800000 tenha d_1=8, esse é o único número com d_1=8 no intervalo e não tem dígitos distintos, logo não entra na conta.

Passo 3

Fixado d_1\in\{5,6,7\}, restam 5 posições a preencher com dígitos distintos dentre os 9 dígitos restantes 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 excluindo d_1.
O número de maneiras de escolher e permutar 5 dígitos em 9 lugares é
P(9,5)=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=15120.

Passo 4

Como há 3 escolhas possíveis para d_1, o total de números desejados é
3 \times 15120 = 45360.

Resposta

45360

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