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Considere todos os números inteiros que podemos formar trocando de posição os dígitos do número 2017. Quantos desses números são menores do que 2017? Quantos desses números são maiores do que 2017 ?
Passo 1
O enunciado pede para formar todos os números de quatro algarismos obtidos ao permutar os dígitos de
e contar quantos desses são menores que
e quantos são maiores. O conteúdo aqui é análise de permutações com restrição (não permitir zero na primeira posição) e comparação lexicográfica de números.
Passo 2
Primeiro contamos o total de permutações válidas de quatro dígitos usando
, sem permitir que o primeiro algarismo seja zero. Há
permutacões no total, mas aquelas que começam com zero são
logo o número total de inteiros de quatro dígitos formados é
Passo 3
Agora contamos quantos são menores que
. Seja o número formado por
.
- Se
, então só pode ser (já que é proibido). Para os três dígitos restantes podem permutar de maneiras, e todos esses números ficam abaixo de . - Se
, então devemos comparar o segundo algarismo :
-
: restam em , dando os números (igual) e (maior), então nenhum fica estritamente abaixo de . -
ou : já geram números acima de ou .
Portanto o total de números menores que
é
Passo 4
Para contar quantos são maiores que
, podemos usar que, dos
números válidos:
-
são menores que (do passo anterior), -
é exatamente .
Logo o restante,
são maiores que
.
Resposta
Menores que 2017:
Maiores que 2017:
Maiores que 2017: