[ 4,0 pontos ] Considere todos os números inteiros que podemos formar trocando de posição os dígitos do número 2017. Quantos desses números são menores do que 2017? Quantos desses números são maiores do que 2017 ?

Passo 1

O enunciado pede para formar todos os números de quatro algarismos obtidos ao permutar os dígitos de \,2017 e contar quantos desses são menores que \,2017 e quantos são maiores. O conteúdo aqui é análise de permutações com restrição (não permitir zero na primeira posição) e comparação lexicográfica de números.

Passo 2

Primeiro contamos o total de permutações válidas de quatro dígitos usando \{2,0,1,7\}, sem permitir que o primeiro algarismo seja zero. Há
4! = 24
permutacões no total, mas aquelas que começam com zero são
3! = 6,
logo o número total de inteiros de quatro dígitos formados é
24 - 6 = 18.

Passo 3

Agora contamos quantos são menores que \,2017. Seja o número formado por a b c d.
  1. Se a < 2, então só pode ser a=1 (já que a=0 é proibido). Para a=1 os três dígitos restantes \{0,2,7\} podem permutar de 3! = 6 maneiras, e todos esses números ficam abaixo de 2000 < 2017.
  2. Se a=2, então devemos comparar o segundo algarismo b:
  • b=0: restam \{1,7\} em c,d, dando os números 2017 (igual) e 2071 (maior), então nenhum fica estritamente abaixo de 2017.
  • b=1 ou b=7: já geram números acima de 2100 ou 2700.
Portanto o total de números menores que \,2017 é 6.

Passo 4

Para contar quantos são maiores que \,2017, podemos usar que, dos 18 números válidos:
  • 6 são menores que 2017 (do passo anterior),
  • 1 é exatamente 2017.
Logo o restante,
18 - 6 - 1 = 11,
são maiores que \,2017.

Resposta

Menores que 2017: 6
Maiores que 2017: 11

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