( \mathbf{1}, \mathbf{5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule sua soma. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}
como convergente ou divergente, e, se convergente, calcular sua soma.
O conteúdo principal é o estudo de séries geométricas e seu critério de convergência e soma.

Passo 2

Devemos reconhecer essa série como uma série geométrica. Para isso, escrevemos o termo geral a_n na forma
a_n = \frac{\pi^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\,\frac{\pi^n}{3^n} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{n}.
Assim, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Numa série geométrica de primeiro termo a_1 e razão r, tem-se
a_1 = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{1} = \frac{\pi}{3\cdot 3} = \frac{\pi}{9}, \qquad r = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

O critério de convergência para série geométrica é \lvert r\rvert<1. Aqui
r = \frac{\pi}{3}\approx1,047 > 1,
logo \lvert r\rvert>1 e a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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