( \mathbf{4 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}
Usaremos o teste da comparação limite (ou critério de comparação assintótica) e o fato de que a série de termos 1/n^{p} (p-série) converge somente se p>1.

Passo 2

Note que, para n=1, o termo \frac{\sqrt{n}}{n-1}=\frac{\sqrt{1}}{0} é indefinido, logo a série nem está bem formulada a partir de n=1. Mesmo que ajustássemos para começar em n=2, o comportamento para grandes n determina a convergência.

Passo 3

Definimos
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n-1} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Sabemos que \sum b_n é p-série com p=\tfrac12\le1, portanto diverge. Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n}}{n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\,n-1\,} =1.
Como 0<L<\infty e \sum b_n diverge, pelo teste da comparação limite concluímos que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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