( \mathbf{4 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}
como convergente ou divergente. Aqui estamos em séries de termos positivos, e vamos usar o teste da divergência (ou teste do termo geral) – que diz que, se
\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0,
a série \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Calculemos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\tfrac{1}{n^{2}}} =1.

Passo 3

Pelo teste da divergência, para convergir é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Como aqui \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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