( \mathbf{2 , 5} pontos) Considere o campo de velocidade permanente, bidimensional dado por \stackrel{1}{V}=(1.3+2.8 x) \stackrel{1}{i}+(1.5+2.8 y) \stackrel{1}{j}. a) Verifique se esse campo de escoamento é incompressível e irrotacional.b) Determine as taxas de deformação linear e de cisalhamento.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade permanente bidimensional
\mathbf{V} = (u,v) = \bigl(1{,}3 + 2{,}8\,x,\;1{,}5 + 2{,}8\,y\bigr)
e pede:
a) verificar se o escoamento é incompressível e irrotacional;
b) determinar as taxas de deformação linear e de cisalhamento.
Para isso vamos usar as definições de divergência, vorticidade e do tensor de deformação de um fluido.

Passo 2

Calculamos a divergência do campo, que indica a compressibilidade:
\div \mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x} = 2{,}8, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2{,}8,
segue que
\div \mathbf{V} = 2{,}8 + 2{,}8 = 5{,}6 \neq 0.

Passo 3

Como \div \mathbf{V}\neq0, o escoamento não é incompressível (há variação volumétrica local).

Passo 4

Agora a vorticidade no sentido z, que indica rotação do fluido em 2D, é
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui
\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,
logo
\omega_z = 0 - 0 = 0.
Portanto o escoamento é irrotacional.

Passo 5

Para as taxas de deformação, consideramos o tensor de taxas de deformação D_{ij} = \tfrac12(\partial v_i/\partial x_j + \partial v_j/\partial x_i).
Os componentes normais (deformação linear) são
D_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2{,}8, \quad D_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} = 2{,}8,
e o componente de cisalhamento é
D_{xy} = \frac12\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\Bigr) = \frac12(0 + 0) = 0.

Resposta

a) \div \mathbf{V}=5{,}6\neq0, logo não é incompressível; \omega_z=0, logo é irrotacional.
b) As taxas de deformação linear são D_{xx}=2{,}8 e D_{yy}=2{,}8, e a taxa de cisalhamento é D_{xy}=0.

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