( \mathbf{2 0} pontos)
Mostre que a equação a seguir é do tipo exata:
\left(4 x^{3}+y \cos x\right) d x+\left(4 y^{3}+\sin x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 4x^{3} + y\cos x, \quad N(x,y) = 4y^{3} + \sin x.
O conteúdo aqui é o conceito de equação exata: ela é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
em alguma região do plano onde M e N são contínuas junto com suas derivadas parciais.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
Para \partial M/\partial y, tratamos x como constante e derivamos M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3} + y\cos x\bigr) = 0 + \cos x = \cos x.
Para \partial N/\partial x, tratamos y como constante e derivamos N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4y^{3} + \sin x\bigr) = 0 + \cos x = \cos x.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \cos x,
temos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto, a equação diferencial é exata.

Resposta

A equação é exata, pois \partial M/\partial y = \partial N/\partial x = \cos x.

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