Use a tabela e as propriedades da transformada e/ou anti-transformada de Laplace para calcular:
\mathcal{L}\left\{\left(3+t^{3}\right) e^{t}\right\}
Tabela: Transformada de Laplace
f(t) \mathcal{L}\{f\}(s)
1 \frac{1}{s}, para s>0
t^{n} \frac{n!}{s^{n+1}}\}, para \(s>0
e^{a t} \frac{1}{s-a}, para s>a
\operatorname{sen}(a t) \frac{a}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
\cos (a t) \frac{s}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, para s>0
\delta(t-c) e^{-c s}
e^{c t} f(t) F(s-c)
u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s)
\int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s)
(-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s)
f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{(n-1)} f(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0)
)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de (3 + t^{3})e^{t}. O conteúdo envolve a linearidade da transformada e a propriedade de deslocamento no domínio s, ou seja,
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}=F(s-a). Também usaremos as transformadas de 1 e de t^{3} da tabela.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\mathcal{L}\{(3 + t^{3})e^{t}\} =\mathcal{L}\{3e^{t}\}+\mathcal{L}\{t^{3}e^{t}\}

Passo 3

Para \mathcal{L}\{3e^{t}\} fatoramos o 3 e usamos \mathcal{L}\{e^{t}\}=\tfrac{1}{s-1}
\mathcal{L}\{3e^{t}\} =3\cdot\frac{1}{s-1} =\frac{3}{s-1}

Passo 4

Para \mathcal{L}\{t^{3}e^{t}\} primeiro calculamos \mathcal{L}\{t^{3}\}=\tfrac{3!}{s^{4}}=\tfrac{6}{s^{4}} e depois aplicamos o deslocamento s\mapsto s-1
\mathcal{L}\{t^{3}e^{t}\} =\left.\frac{6}{s^{4}}\right|_{s\to s-1} =\frac{6}{(s-1)^{4}}

Passo 5

Somando os dois resultados
\mathcal{L}\{(3 + t^{3})e^{t}\} =\frac{3}{s-1}+\frac{6}{(s-1)^{4}} \quad s>1

Resposta

\frac{3}{s-1}+\frac{6}{(s-1)^{4}}

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