Use a tabela e as propriedades da transformada e/ou anti-transformada de Laplace para calcular:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s e^{-2 \pi s}}{s^{2}+4}\right\}
Tabela: Transformada de Laplace
f(t) \mathcal{L}\{f\}(s)
1 \frac{1}{s}, para s>0
t^{n} \frac{n!}{s^{n+1}}\}, para \(s>0
e^{a t} \frac{1}{s-a}, para s>a
\operatorname{sen}(a t) \frac{a}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
\cos (a t) \frac{s}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, para s>0
\delta(t-c) e^{-c s}
e^{c t} f(t) F(s-c)
u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s)
\int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s)
(-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s)
f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{(n-1)} f(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0)
)

Passo 1

O enunciado pede calcular a anti-transformada de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s\,e^{-2\pi s}}{s^{2}+4}\Bigr\},
usando a propriedade de deslocamento no tempo e a tabela de transformadas.

Passo 2

Da tabela sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Ou seja, F(s)=\tfrac{s}{s^{2}+4} corresponde à função f(t)=\cos(2t).

Passo 3

A propriedade de deslocamento no tempo diz que, se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{u_{c}(t)\,f(t-c)\}(s)=e^{-c s}F(s).

Passo 4

Aqui temos c=2\pi e F(s)=\tfrac{s}{s^{2}+4}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{e^{-2\pi s}\,\tfrac{s}{s^{2}+4}\Bigr\} = u_{2\pi}(t)\,\cos\!\bigl(2\,(t-2\pi)\bigr).

Passo 5

Observando que
\cos\bigl(2(t-2\pi)\bigr)=\cos(2t-4\pi)=\cos(2t),
podemos também escrever
u_{2\pi}(t)\,\cos\!\bigl(2(t-2\pi)\bigr) = u_{2\pi}(t)\,\cos(2t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s\,e^{-2\pi s}}{s^{2}+4}\Bigr\} = u_{2\pi}(t)\,\cos\!\bigl(2(t-2\pi)\bigr).

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