(
pontos) Determine os autovalores e os autovetores correspondentes do operador linear
definido por:
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
definido por
O que se pede é: determinar os autovalores (valores
) e os autovetores (vetores
tais que
) correspondentes a esse operador.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de
aplicada ao vetor é . - Queremos todos os pares
com e que satisfazem .
Passo 2
Primeiro, transformar
numa matriz em relação à base canônica para ficar mais concreto. Se
e
, então
Colocando essas colunas, a matriz que representa
na base canônica é
Explicando a definição de autovalor/vetor: um número
é autovalor de
se existir vetor não nulo
tal que
que é equivalente a
Para existir solução não-trivial
, é preciso que a matriz
seja singular, isto é,
Para matriz
com entradas
vale
. Vamos aplicar isso para obter o polinômio característico.]
Passo 3
Escrever
e calcular o determinante:
O determinante é
Calculo passo a passo:
Somando o termo
(porque
) obtemos
Fatorando o polinômio quadrático:
Portanto as raízes (autovalores) são
e
.]
Passo 4
Agora, para cada autovalor vamos achar o espaço próprio (os autovetores correspondentes), resolvendo
.
Caso
:
Queremos vetores
tais que
Das linhas obtemos a equação
. A segunda linha é múltipla da primeira, então não traz condição nova. Da primeira equação segue
. Logo os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares de
ou seja
com
. Conferindo:
, confirma.]
Passo 5
Caso
:
Procuramos
tais que
A equação da primeira linha é
, ou seja
. A segunda linha é repetida, sem condição adicional. Portanto os autovetores associados a
são todos os múltiplos escalares de
isto é
com
. Conferindo:
, confirma.]
Resposta
Autovalores:
e
Autovetores: para
todos os múltiplos de
; para
todos os múltiplos de
]