(3 pontos) As observações
representam parte de uma série temporal com os seguintes valores:
98
99
100
101
102
103
63
69
70
68
67
73
Ajustou-se o seguinte modelo:
a) Calcule as previsões
. Qual a origem da série?
b) Construa os seus respectivos intervalos, com
de confiança para:
.
c) Suponha a nova observação
. Encontre as previsões atualizadas
para
, utilizando:
, e construa os intervalos de confiança, com
, para
e
.
Obs1.: Utilize
.
Obs2.:
, onde
.
|
|
98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 |
|
|
63 | 69 | 70 | 68 | 67 | 73 |
b) Construa os seus respectivos intervalos, com
c) Suponha a nova observação
Obs2.:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os números no enunciado):
Dados fornecidos (peguei os números no enunciado):
- Observações:
, , , , , . - Modelo ajustado:
onde
. (Ou seja,
.)
- Observações extras:
. - Fórmula dada para a variância do erro de previsão:
com
,
e
para
.
O que o problema pede:
a) Calcular as previsões para
. Pergunta também: “Qual a origem da série?” (vou listar essa pergunta para responder a seguir).
b) Construir intervalos de de confiança para
.
c) Supondo a nova observação , recalcular previsões atualizadas
para
usando
e construir intervalos de confiança com
para
.
a) Calcular as previsões
b) Construir intervalos de
c) Supondo a nova observação
Observação sobre notação/método: o modelo dado é um modelo para
. Isso é um caso de ARIMA(0,1,2) (ou seja, diferença de primeira ordem com componente MA(2)). As previsões de
são obtidas prevendo as diferenças e somando cumulativamente. Vou mostrar passo a passo.
Passo 2
Preparar cálculos iniciais: calcule as diferenças observadas
para ter ideia dos resíduos e para usar quando preciso:
Comentário didático curto: para prever
com um modelo em diferenças, usamos
onde
. Por isso primeiro vamos achar as expectativas condicionais das diferenças futuras.
Passo 3
Entender os sinais e identificar
e os
. Atenção ao sinal: muitos autores escrevem MA como
. Aqui no enunciado temos
. Comparando com a forma padrão
obtemos
Agora os
(pesos da representação acumulada de
) são:
e para
Explicação didática: os
surgem porque
é a soma acumulada das
. Como
é MA(2), a representação em médias móveis de
tem pesos que são somas parciais dos coeficientes de
; isso resulta em
,
etc., que aqui tomam os valores calculados acima.
Passo 4
Previsões não atualizadas com origem em
(parte a). Para
e usando
(obs. do enunciado), calcule
,
, etc.
Escrevendo explicitamente:
Condicionando à informação até
:
(inovação futura tem média zero) e o enunciado diz
. Logo
Para
as diferenças futuras envolvem apenas inovações futuras com média zero; assim todos os
para
. Portanto as previsões de
a partir de
são constantes iguais a
:
e por iteração
Resposta à pergunta “Qual a origem da série?”: a série foi modelada em diferença de primeira ordem (
é modelado), isto é,
é uma série que foi transformada por uma diferença — em termos de modelo, a origem do modelo é um ARIMA(0,1,2) (diferença de ordem 1 com MA(2)). (Se a pergunta se referia ao tempo onde iniciam as observações, a origem temporal fornecida no enunciado começa em
; mas tipicamente em séries temporais “origem da série” refere-se ao fato de termos modelado a primeira diferença.)
Passo 5
Construir intervalos de
para
(parte b). Usamos a fórmula dada:
com
. Calculamos os somatórios
:
-
: soma . Então . . -
: soma . Var . . -
: soma . Var . . -
: soma . Var . .
Para intervalo de
usamos o quantil
. As previsões pontuais todas iguais a
, logo os intervalos são:
Calculando numericamente (arredondando para duas casas decimais):
-
( ): , margem . Intervalo aproximado:
-
( ): , margem . Intervalo:
-
( ): , margem . Intervalo:
-
( ): , margem . Intervalo:
Passo 6
Parte c) — nova observação
. Primeiro calcule o resíduo/inovação
usando a relação do modelo:
Da equação do modelo em forma
(= a forma usada no passo 3), isolamos
Com
e
, obtemos
Agora aplicamos a fórmula de atualização dada:
Lembrando
para qualquer
(resultado do passo 4), e usando
para
, e
:
- Para
(previsão de feita em ):
- Para
(previsão de ):
- Para
(previsão de ):
Observação didática: a atualização soma o efeito do choque
sobre as previsões futuras via os pesos
.
Passo 7
Intervalos com nível
(quantil
) para
com origem em
. As variâncias de previsão para horizontes
a partir de
são as mesmas calculadas anteriormente para
(pois dependem apenas dos
e de
), ou seja:
,
,
.
Construindo intervalos centrados nas previsões atualizadas:
-
: centro , margem . Intervalo (arredondado):
-
: centro , margem . Intervalo:
-
: centro , margem . Intervalo:
Resposta
a)
Origem da série: a série foi modelada em diferença de primeira ordem (modelo ARIMA(0,1,2)); as observações fornecidas começam em .
Origem da série: a série foi modelada em diferença de primeira ordem (modelo ARIMA(0,1,2)); as observações fornecidas começam em
b) Intervalos de
:
c) Com
temos
. Previsões atualizadas:
Intervalos de
: