(3 pontos) As observações Z_{98}, Z_{99}, \ldots, Z_{103} representam parte de uma série temporal com os seguintes valores:
t 98 99 100 101 102 103
Z_{t} 63 69 70 68 67 73
Ajustou-se o seguinte modelo:
\begin{aligned} \Delta Z_{t} & =a_{t}-0,9 a_{t-1}+0,2 a_{t-2} . \\\ \text { Onde } a_{t} \text { é } R B & \sim N(0 ; 0,81) . \end{aligned}é
a) Calcule as previsões \widehat{Z}_{t}(h), h=1,2,3,4. Qual a origem da série?
b) Construa os seus respectivos intervalos, com 95 \% de confiança para: Z_{104}, \ldots, Z_{107}.
c) Suponha a nova observação Z_{104}=74. Encontre as previsões atualizadas \widehat{Z}_{104}(h) para h=1,2,3, utilizando: \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+\psi_{h} a_{t+1}, e construa os intervalos de confiança, com 1-\alpha=0,90, para Z_{105}, Z_{106} e Z_{107}.
Obs1.: Utilize \widehat{a}_{102}=\widehat{a}_{103}=0.
Obs2.: \operatorname{Var}\left[e_{t}(h)\right]=\sigma_{a}^{2} \sum_{j=0}^{h-1} \psi_{j}^{2}, h \geq 1, onde \psi_{0}=1, \psi_{1}=1-\theta_{1} \mathrm{e} \psi_{j}=1-\theta_{1}-\theta_{2}, j \geq 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os números no enunciado):
  • Observações: Z_{98}=63, Z_{99}=69, Z_{100}=70, Z_{101}=68, Z_{102}=67, Z_{103}=73.
  • Modelo ajustado:
\Delta Z_{t}=a_{t}-0,9\,a_{t-1}+0,2\,a_{t-2},
onde a_{t}\overset{iid}{\sim}N(0;0,81). (Ou seja, \operatorname{Var}(a_t)=0,81.)
  • Observações extras: \widehat{a}_{102}=\widehat{a}_{103}=0.
  • Fórmula dada para a variância do erro de previsão:
\operatorname{Var}\big[e_t(h)\big]=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^{2},\quad h\ge 1,
com \psi_0=1, \psi_1=1-\theta_1 e \psi_j=1-\theta_1-\theta_2 para j\ge2.
O que o problema pede:
a) Calcular as previsões \widehat{Z}_t(h) para h=1,2,3,4. Pergunta também: “Qual a origem da série?” (vou listar essa pergunta para responder a seguir).
b) Construir intervalos de 95\% de confiança para Z_{104},Z_{105},Z_{106},Z_{107}.
c) Supondo a nova observação Z_{104}=74, recalcular previsões atualizadas \widehat{Z}_{104}(h) para h=1,2,3 usando \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_t(h+1)+\psi_h a_{t+1} e construir intervalos de confiança com 1-\alpha=0,90 para Z_{105},Z_{106},Z_{107}.
Observação sobre notação/método: o modelo dado é um modelo para \Delta Z_t. Isso é um caso de ARIMA(0,1,2) (ou seja, diferença de primeira ordem com componente MA(2)). As previsões de Z são obtidas prevendo as diferenças e somando cumulativamente. Vou mostrar passo a passo.

Passo 2

Preparar cálculos iniciais: calcule as diferenças observadas \Delta Z_t=Z_t-Z_{t-1} para ter ideia dos resíduos e para usar quando preciso:
\begin{aligned} \Delta Z_{99}&=69-63=6,\\\ \Delta Z_{100}&=70-69=1,\\\ \Delta Z_{101}&=68-70=-2,\\\ \Delta Z_{102}&=67-68=-1,\\\ \Delta Z_{103}&=73-67=6. \end{aligned}
Comentário didático curto: para prever Z_{t+h} com um modelo em diferenças, usamos
\widehat{Z}_t(h)=Z_t+\sum_{i=1}^h \widehat{\Delta Z}_t(i),
onde \widehat{\Delta Z}_t(i)=E[\Delta Z_{t+i}\mid \mathcal{F}_t]. Por isso primeiro vamos achar as expectativas condicionais das diferenças futuras.

Passo 3

Entender os sinais e identificar \theta_1,\theta_2 e os \psi_j. Atenção ao sinal: muitos autores escrevem MA como \Delta Z_t=a_t-\theta_1 a_{t-1}-\theta_2 a_{t-2}. Aqui no enunciado temos \Delta Z_t=a_t-0,9 a_{t-1}+0,2 a_{t-2}. Comparando com a forma padrão \Delta Z_t=a_t-\theta_1 a_{t-1}-\theta_2 a_{t-2} obtemos
\theta_1=0,9,\qquad \theta_2=-0,2.
Agora os \psi_j (pesos da representação acumulada de Z) são:
\psi_0=1,\qquad \psi_1=1-\theta_1=1-0,9=0,1,
e para j\ge2
\psi_j=1-\theta_1-\theta_2=1-0,9-(-0,2)=1-0,9+0,2=0,3.
Explicação didática: os \psi_j surgem porque Z_t é a soma acumulada das \Delta Z. Como \Delta Z_t é MA(2), a representação em médias móveis de Z_t tem pesos que são somas parciais dos coeficientes de \Delta Z_t; isso resulta em \psi_0=1, \psi_1=\theta_0+\theta_1 etc., que aqui tomam os valores calculados acima.

Passo 4

Previsões não atualizadas com origem em t=103 (parte a). Para t=103 e usando \widehat{a}_{102}=\widehat{a}_{103}=0 (obs. do enunciado), calcule E[\Delta Z_{104}\mid\mathcal{F}_{103}], E[\Delta Z_{105}\mid\mathcal{F}_{103}], etc.
Escrevendo explicitamente:
\Delta Z_{104}=a_{104}-0,9a_{103}+0,2a_{102}.
Condicionando à informação até t=103: E[a_{104}\mid\mathcal{F}_{103}]=0 (inovação futura tem média zero) e o enunciado diz \widehat{a}_{103}=\widehat{a}_{102}=0. Logo
\widehat{\Delta Z}_{103}(1)=E[\Delta Z_{104}\mid\mathcal{F}_{103}]= -0,9\cdot 0 + 0,2\cdot 0 + 0=0.
Para h\ge2 as diferenças futuras envolvem apenas inovações futuras com média zero; assim todos os \widehat{\Delta Z}_{103}(h)=0 para h\ge1. Portanto as previsões de Z a partir de t=103 são constantes iguais a Z_{103}:
\widehat{Z}_{103}(1)=Z_{103}+\widehat{\Delta Z}_{103}(1)=73+0=73,
e por iteração
\widehat{Z}_{103}(h)=73\quad\text{para }h=1,2,3,4.
Resposta à pergunta “Qual a origem da série?”: a série foi modelada em diferença de primeira ordem ( \Delta Z_t é modelado), isto é, Z_t é uma série que foi transformada por uma diferença — em termos de modelo, a origem do modelo é um ARIMA(0,1,2) (diferença de ordem 1 com MA(2)). (Se a pergunta se referia ao tempo onde iniciam as observações, a origem temporal fornecida no enunciado começa em t=98; mas tipicamente em séries temporais “origem da série” refere-se ao fato de termos modelado a primeira diferença.)

Passo 5

Construir intervalos de 95\% para Z_{104},\dots,Z_{107} (parte b). Usamos a fórmula dada:
\operatorname{Var}\big[e_t(h)\big]=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^{2},
com \sigma_a^{2}=0,81. Calculamos os somatórios \sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^{2}:
  • h=1: soma =\psi_0^{2}=1^{2}=1. Então \operatorname{Var}=0,81\cdot1=0,81. \operatorname{sd}=\sqrt{0,81}=0,9.
  • h=2: soma =\psi_0^{2}+\psi_1^{2}=1+0,1^{2}=1+0,01=1,01. Var =0,81\cdot1,01=0,8181. \operatorname{sd}\approx\sqrt{0,8181}\approx0,9045.
  • h=3: soma =1+0,01+0,3^{2}=1+0,01+0,09=1,10. Var =0,81\cdot1,10=0,891. \operatorname{sd}\approx0,944.
  • h=4: soma =1+0,01+0,09+0,09=1,19. Var =0,81\cdot1,19=0,9639. \operatorname{sd}\approx0,9818.
Para intervalo de 95\% usamos o quantil z_{0,975}=1,96. As previsões pontuais todas iguais a 73, logo os intervalos são:
\widehat{Z}_{103}(h)\pm 1,96\cdot \operatorname{sd}_h.
Calculando numericamente (arredondando para duas casas decimais):
  • h=1 ( Z_{104}): \operatorname{sd}=0,9, margem =1,96\cdot0,9=1,764. Intervalo aproximado:
[73-1,764,\;73+1,764]=[71,24,\;74,76].
  • h=2 ( Z_{105}): \operatorname{sd}\approx0,9045, margem \approx1,96\cdot0,9045=1,77. Intervalo:
[73-1,77,\;73+1,77]=[71,23,\;74,77].
  • h=3 ( Z_{106}): \operatorname{sd}\approx0,944, margem \approx1,96\cdot0,944=1,85. Intervalo:
[73-1,85,\;73+1,85]=[71,15,\;74,85].
  • h=4 ( Z_{107}): \operatorname{sd}\approx0,9818, margem \approx1,96\cdot0,9818=1,92. Intervalo:
[73-1,92,\;73+1,92]=[71,08,\;74,92].

Passo 6

Parte c) — nova observação Z_{104}=74. Primeiro calcule o resíduo/inovação a_{104} usando a relação do modelo:
\Delta Z_{104}=Z_{104}-Z_{103}=74-73=1.
Da equação do modelo em forma \Delta Z_{t}=a_{t}-\theta_1 a_{t-1}-\theta_2 a_{t-2} (= a forma usada no passo 3), isolamos
a_{t}=\Delta Z_{t}+\theta_1 a_{t-1}+\theta_2 a_{t-2}.
Com \widehat{a}_{103}=\widehat{a}_{102}=0 e \theta_1=0,9,\\ \theta_2=-0,2, obtemos
a_{104}=\Delta Z_{104}+0,9\cdot 0 + (-0,2)\cdot 0=1.
Agora aplicamos a fórmula de atualização dada:
\widehat{Z}_{104}(h)=\widehat{Z}_{103}(h+1)+\psi_h a_{104}.
Lembrando \widehat{Z}_{103}(h+1)=73 para qualquer h (resultado do passo 4), e usando \psi_0=1,\psi_1=0,1,\psi_j=0,3 para j\ge2, e a_{104}=1:
  • Para h=1 (previsão de Z_{105} feita em t=104):
\widehat{Z}_{104}(1)=\widehat{Z}_{103}(2)+\psi_1 a_{104}=73+0,1\cdot 1=73,1.
  • Para h=2 (previsão de Z_{106}):
\widehat{Z}_{104}(2)=\widehat{Z}_{103}(3)+\psi_2 a_{104}=73+0,3\cdot1=73,3.
  • Para h=3 (previsão de Z_{107}):
\widehat{Z}_{104}(3)=\widehat{Z}_{103}(4)+\psi_3 a_{104}=73+0,3\cdot1=73,3.
Observação didática: a atualização soma o efeito do choque a_{104} sobre as previsões futuras via os pesos \psi_h.

Passo 7

Intervalos com nível 1-\alpha=0,90 (quantil z_{0,95}=1,645) para Z_{105},Z_{106},Z_{107} com origem em t=104. As variâncias de previsão para horizontes h=1,2,3 a partir de t=104 são as mesmas calculadas anteriormente para h=1,2,3 (pois dependem apenas dos \psi_j e de \sigma_a^2), ou seja: \operatorname{sd}_1=0,9, \operatorname{sd}_2\approx0,9045, \operatorname{sd}_3\approx0,944.
Construindo intervalos centrados nas previsões atualizadas:
  • Z_{105}: centro 73,1, margem =1,645\cdot0,9\approx1,4805. Intervalo (arredondado):
[73,10-1,48,\;73,10+1,48]=[71,62,\;74,58].
  • Z_{106}: centro 73,3, margem =1,645\cdot0,9045\approx1,49. Intervalo:
[73,30-1,49,\;73,30+1,49]=[71,81,\;74,79].
  • Z_{107}: centro 73,3, margem =1,645\cdot0,944\approx1,55. Intervalo:
[73,30-1,55,\;73,30+1,55]=[71,75,\;74,85].

Resposta

a) \widehat{Z}_{103}(1)=73
\widehat{Z}_{103}(2)=73
\widehat{Z}_{103}(3)=73
\widehat{Z}_{103}(4)=73
Origem da série: a série foi modelada em diferença de primeira ordem (modelo ARIMA(0,1,2)); as observações fornecidas começam em t=98.
b) Intervalos de 95\%:
Z_{104}:\\ [71,24,\;74,76]
Z_{105}:\\ [71,23,\;74,77]
Z_{106}:\\ [71,15,\;74,85]
Z_{107}:\\ [71,08,\;74,92]
c) Com Z_{104}=74 temos a_{104}=1. Previsões atualizadas:
\widehat{Z}_{104}(1)=73,1
\widehat{Z}_{104}(2)=73,3
\widehat{Z}_{104}(3)=73,3
Intervalos de 90\%:
Z_{105}:\\ [71,62,\;74,58]
Z_{106}:\\ [71,81,\;74,79]
Z_{107}:\\ [71,75,\;74,85]

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