Use a tabela e as propriedades da transformada e/ou anti-transformada de Laplace para calcular:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{s^{2}-3 s-4}\right\}
Tabela: Transformada de Laplace
f(t) \mathcal{L}\{f\}(s)
1 \frac{1}{s}, para s>0
t^{n} \frac{n!}{s^{n+1}}\}, para \(s>0
e^{a t} \frac{1}{s-a}, para s>a
\operatorname{sen}(a t) \frac{a}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
\cos (a t) \frac{s}{s^{2}+a^{2}}\}, para \(s>0
u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, para s>0
\delta(t-c) e^{-c s}
e^{c t} f(t) F(s-c)
u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s)
\int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s)
(-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s)
f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{(n-1)} f(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0)
)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{10}{s^{2}-3s-4}\Big\}\,.
O conteúdo é frações parciais e uso da tabela de transformadas, que diz em particular
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} e linearidade.

Passo 2

Fatoramos o denominador
s^{2}-3s-4 = (s-4)(s+1)\,.

Passo 3

Expressamos em frações parciais
\frac{10}{(s-4)(s+1)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+1}\,.
Multiplicando ambos os lados por (s-4)(s+1), obtemos
10 = A(s+1) + B(s-4) = (A+B)\,s + (A-4B)\,.

Passo 4

Comparando coeficientes em s\) e termo constante: \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - 4B = 10. \end{cases}
Da primeira equação A=-B\]. Substituindo na segunda: \[(-B) -4B = 10 \quad\Longrightarrow\quad -5B = 10 \quad\Longrightarrow\quad B = -2,\] logo \(A = 2.

Passo 5

A decomposição fica
\frac{10}{(s-4)(s+1)} = \frac{2}{s-4} - \frac{2}{s+1}\,.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo e usando a relação \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{2}{s-4}\Big\} = 2e^{4t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{-2}{s+1}\Big\} = -2e^{-t}.

Resposta

Portanto,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{10}{s^{2}-3s-4}\Big\} = 2e^{4t} - 2e^{-t}.

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