(a) Encontre os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli.
(b) Elas são Hermitianas? Elas são unitárias?
(c) Encontre \left[\sigma_{x}, \sigma_{y}\right] e \left\{\sigma_{x}, \sigma_{y}\right\}.
(d) Expresse as matrizes de Pauli na notação de produto externo.
e pede:
(a) autovalores e autovetores de cada uma;
(b) se são Hermitianas e se são unitárias;
(c) o comutador [\sigma_x,\sigma_y] e o anticonmutador \{\sigma_x,\sigma_y\};
(d) expressá-las em notação de produto externo.]
Passo 2
Para \sigma_{x} resolvemos \det(\sigma_x-\lambda I)=0, ou seja
Para \sigma_{y} calculamos \det(\sigma_y-\lambda I)=\lambda^2-1=0, então \lambda=\pm1.
Para \lambda=+1 a equação (\sigma_y-I)v=0 leva a -a+i\,b=0\implies b=i\,a, e
Para \sigma_{z}, que é diagonal, temos logo \lambda=+1 com vetor
\;v_+=\begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix}; e \lambda=-1 com vetor
\;v_-=\begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Cada \sigma_i satisfaz \sigma_i^\dagger=\sigma_i, logo são Hermitianas.
Como \sigma_i^2=I, temos \sigma_i^{-1}=\sigma_i=\sigma_i^\dagger, logo são também unitárias.
(a) Autovalores +1,-1. Autovetores: para \sigma_x são \tfrac1{\sqrt2}(1,1)^T e \tfrac1{\sqrt2}(1,-1)^T; para \sigma_y são \tfrac1{\sqrt2}(1,i)^T e \tfrac1{\sqrt2}(1,-i)^T; para \sigma_z são (1,0)^T e (0,1)^T.
(b) Todas são Hermitianas e unitárias.
(c) [\sigma_x,\sigma_y]=-2\,i\,\sigma_z, \{\sigma_x,\sigma_y\}=0.
(d) \displaystyle\sigma_x=\lvert0\rangle\langle1\rvert+\lvert1\rangle\langle0\rvert, \displaystyle\sigma_y=i\,\lvert0\rangle\langle1\rvert-i\,\lvert1\rangle\langle0\rvert, \displaystyle\sigma_z=\lvert0\rangle\langle0\rvert-\lvert1\rangle\langle1\rvert.