(\mathbf{2}, \mathbf{0} pontos ) As matrizes de Pauli são definidas por:
\sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right), \sigma_{y}=\left(\begin{array}{cc} 0 & i \\\\ -i & 0 \end{array}\right), \sigma_{z}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
(a) Encontre os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli.
(b) Elas são Hermitianas? Elas são unitárias?
(c) Encontre \left[\sigma_{x}, \sigma_{y}\right] e \left\{\sigma_{x}, \sigma_{y}\right\}.
(d) Expresse as matrizes de Pauli na notação de produto externo.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes de Pauli
\sigma_{x}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{y}=\begin{pmatrix}0 & i \\[3pt] -i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{z}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede:
(a) autovalores e autovetores de cada uma;
(b) se são Hermitianas e se são unitárias;
(c) o comutador [\sigma_x,\sigma_y] e o anticonmutador \{\sigma_x,\sigma_y\};
(d) expressá-las em notação de produto externo.]

Passo 2

Para \sigma_{x} resolvemos \det(\sigma_x-\lambda I)=0, ou seja
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[3pt]1&-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-1=0\quad\Rightarrow\quad\lambda=\pm1.
Para \lambda=+1 a equação (\sigma_x-I)v=0 v_+\propto(1,1), normalizando
v_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 a equação (\sigma_x+I)v=0 v_-\propto(1,-1), normalizando
v_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para \sigma_{y} calculamos \det(\sigma_y-\lambda I)=\lambda^2-1=0, então \lambda=\pm1.
Para \lambda=+1 a equação (\sigma_y-I)v=0 leva a -a+i\,b=0\implies b=i\,a, e
v_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[3pt]i\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1 a equação (\sigma_y+I)v=0 leva a a+i\,b=0\implies b=-\,i\,a, e
v_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-\,i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \sigma_{z}, que é diagonal, temos logo \lambda=+1 com vetor
\;v_+=\begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix}; e \lambda=-1 com vetor
\;v_-=\begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cada \sigma_i satisfaz \sigma_i^\dagger=\sigma_i, logo são Hermitianas.
Como \sigma_i^2=I, temos \sigma_i^{-1}=\sigma_i=\sigma_i^\dagger, logo são também unitárias.

Passo 6

Calculamos
\sigma_x\,\sigma_y =\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&i\\\ -i&0\end{pmatrix} =-\,i\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} =-\,i\,\sigma_z,
\sigma_y\,\sigma_x =\begin{pmatrix}0&i\\\ -i&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =\,i\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} =\,i\,\sigma_z.
Logo o comutador e o anticonmutador são
[\sigma_x,\sigma_y] =\sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_x =-\,i\,\sigma_z-\,(i\,\sigma_z) =-2\,i\,\sigma_z,
\{\sigma_x,\sigma_y\} =\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x =-\,i\,\sigma_z+\,i\,\sigma_z =0.

Passo 7

Na base canônica \{\lvert0\rangle,\lvert1\rangle\} (onde \lvert0\rangle=(1,0)^T, \lvert1\rangle=(0,1)^T), escrevemos
\sigma_x =\lvert0\rangle\langle1\rvert+\lvert1\rangle\langle0\rvert,
\sigma_y =i\,\lvert0\rangle\langle1\rvert \;-\;i\,\lvert1\rangle\langle0\rvert,
\sigma_z =\lvert0\rangle\langle0\rvert\;-\;\lvert1\rangle\langle1\rvert.

Resposta

(a) Autovalores +1,-1. Autovetores: para \sigma_x são \tfrac1{\sqrt2}(1,1)^T e \tfrac1{\sqrt2}(1,-1)^T; para \sigma_y são \tfrac1{\sqrt2}(1,i)^T e \tfrac1{\sqrt2}(1,-i)^T; para \sigma_z são (1,0)^T e (0,1)^T.
(b) Todas são Hermitianas e unitárias.
(c) [\sigma_x,\sigma_y]=-2\,i\,\sigma_z, \{\sigma_x,\sigma_y\}=0.
(d)
\displaystyle\sigma_x=\lvert0\rangle\langle1\rvert+\lvert1\rangle\langle0\rvert,
\displaystyle\sigma_y=i\,\lvert0\rangle\langle1\rvert-i\,\lvert1\rangle\langle0\rvert,
\displaystyle\sigma_z=\lvert0\rangle\langle0\rvert-\lvert1\rangle\langle1\rvert.

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