( 2,0 pontos) Suponha que:
|A\rangle=(2+3 i)\left|u_{1}\right\rangle+4\left|u_{2}\right\rangle, \quad|B\rangle=7\left|u_{1}\right\rangle-8 i\left|u_{2}\right\rangle,
onde \left\{\left|u_{1}\right\rangle,\left|u_{2}\right\rangle\right\} é uma base ortonormal.
(a) Normalize os vetores |A\rangle e |B\rangle.
(b) Encontre |A+B\rangle.
(c) Mostre que |A\rangle e |B\rangle satisfazem a desigualdade do triângulo.
(d) Mostre que |A\rangle e |B\rangle satisfazem a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em um espaço de dimensão 2 com base ortonormal \{\lvert u_1\rangle,\lvert u_2\rangle\}:
|A\rangle=(2+3 i)|u_{1}\rangle+4|u_{2}\rangle, \quad |B\rangle=7|u_{1}\rangle-8 i|u_{2}\rangle.
Precisamos:
  • (a) achar \|A\| e \|B\| e escrever os vetores normalizados;
  • (b) calcular |A+B\rangle;
  • (c) verificar \|A+B\|\le\|A\|+\|B\| (desigualdade do triângulo);
  • (d) verificar \lvert\langle A|B\rangle\rvert\le\|A\|\,\|B\| (desigualdade de Cauchy–Schwarz).

Passo 2

Para normalizar, calculamos primeiro as normas ao quadrado:
\|A\|^2=\langle A|A\rangle =|2+3i|^2+|4|^2 =(2^2+3^2)+4^2 =13+16 =29,
\|B\|^2=\langle B|B\rangle =|7|^2+|-8i|^2 =49+64 =113.
Logo
\|A\|=\sqrt{29}, \quad \|B\|=\sqrt{113}.
Os vetores normalizados são
|A_{\rm norm}\rangle =\frac{1}{\sqrt{29}}\bigl((2+3i)|u_1\rangle+4|u_2\rangle\bigr), \quad |B_{\rm norm}\rangle =\frac{1}{\sqrt{113}}\bigl(7|u_1\rangle-8i|u_2\rangle\bigr).

Passo 3

Para |A+B\rangle somamos componente a componente:
|A+B\rangle =\bigl((2+3i)+7\bigr)|u_1\rangle+\bigl(4-8i\bigr)|u_2\rangle =(9+3i)\,|u_1\rangle+(4-8i)\,|u_2\rangle.

Passo 4

Calculamos \|A+B\| e comparamos com \|A\|+\|B\|:
\|A+B\|^2 =|9+3i|^2+|4-8i|^2 =(9^2+3^2)+(4^2+8^2) =90+80 =170,
portanto \|A+B\|=\sqrt{170}. Como \sqrt{170}\le\sqrt{29}+\sqrt{113} (porque ao quadrado dá 170\le29+113+2\sqrt{29\cdot113}), segue-se a desigualdade do triângulo:
\|A+B\|\le\|A\|+\|B\|.

Passo 5

Calculamos o produto interno e comparamos com \|A\|\|B\|:
\langle A|B\rangle =\overline{2+3i}\,7+\overline{4}\,(-8i) =(2-3i)\,7+4(-8i) =14-21i-32i =14-53i.
Logo
|\langle A|B\rangle|^2 =14^2+(-53)^2 =196+2809 =3005,
enquanto
\|A\|^2\,\|B\|^2 =29\cdot113 =3277.
Como 3005\le3277, obtemos
|\langle A|B\rangle|\le\|A\|\,\|B\|,
confirmando a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Resposta

(a)
|A_{\rm norm}\rangle = \frac{2+3i}{\sqrt{29}}\,|u_1\rangle + \frac{4}{\sqrt{29}}\,|u_2\rangle,
|B_{\rm norm}\rangle = \frac{7}{\sqrt{113}}\,|u_1\rangle - \frac{8i}{\sqrt{113}}\,|u_2\rangle.
(b)
|A+B\rangle = (9+3i)\,|u_1\rangle + (4-8i)\,|u_2\rangle.
(c)
\|A+B\| = \sqrt{170} \le \sqrt{29} + \sqrt{113} = \|A\| + \|B\|.
(d)
|\langle A|B\rangle| = \sqrt{3005} \le \sqrt{3277} = \|A\|\|B\|.

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