(Vetor definido por dois pontos e paralelismo) ( \mathbf{2} pontos) Considere os pontos A(1,0,2), B(3,2,-1) e C(0,1,4) :
(a) Determine as coordenadas dos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) Verifique se estes vetores são paralelos.
(c) Encontre as coordenadas do ponto D tal que \overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,0,2), B(3,2,-1) e C(0,1,4) e pede:
– (a) as coordenadas dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC};
– (b) verificar se esses vetores são paralelos;
– (c) determinar o ponto D tal que \overrightarrow{CD}=2\,\overrightarrow{AB}.
Vamos usar a definição de vetor entre dois pontos, o teste de paralelismo (um é múltiplo escalar do outro) e a soma de vetores para achar D.

Passo 2

Para obter \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraímos as coordenadas de A das de B e de C, respectivamente:
\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1,\;2-0,\;-1-2) = (2,\,2,\,-3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;1-0,\;4-2) = (-1,\,1,\,2).

Passo 3

Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja, existe k tal que
\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}.
Isso leva ao sistema
2 = -k,\quad 2 = k,\quad -3 = 2k.
Não há valor de k que satisfaça todas as três equações simultaneamente, logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos.

Passo 4

Queremos D tal que
\overrightarrow{CD}=2\,\overrightarrow{AB}.
Usando a definição \overrightarrow{CD}=D-C, temos
D = C + 2\,\overrightarrow{AB} = (0,1,4) + 2\,(2,2,-3) = (0+4,\;1+4,\;4-6) = (4,5,-2).

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(2,2,-3), \overrightarrow{AC}=(-1,1,2).
(b) Não são paralelos.
(c) D=(4,5,-2).

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