( \mathbf{2 , 0} pontos) Identifique a cônica não-degenerada representada pela equação abaixo e escreva sua equação reduzida após a eliminação do termo misto x y :
2 x^{2}-4 x y-1 y^{2}=6

Passo 1

O enunciado nos dá a equação quadrática
2x^{2}-4xy-1y^{2}=6.
As informações relevantes fornecidas são:
  • Coeficientes da parte quadrática:
    • A=2 (coeficiente de x^{2}),
    • B=-4 (coeficiente de xy),
    • C=-1 (coeficiente de y^{2}).
  • Termo independente (lado direito): 6.
    O que se pede:
  • Identificar qual é a cônica não-degenerada representada por essa equação.
  • Eliminar o termo misto xy (ou seja, efetuar uma rotação de eixos) e escrever a equação reduzida sem termo misto.

Passo 2

Primeiro vamos identificar o tipo de cônica pelo discriminante da parte quadrática. A quantidade usada é
\Delta = B^{2}-4AC.
Substituindo os valores:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=16+8=24>0.
Regra rápida (útil em provas): para a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots,
  • se \Delta<0 a cônica é elipse (ou círculo),
  • se \Delta=0 é parábola,
  • se \Delta>0 é hipérbole.
    Como \Delta=24>0, concluímos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Estratégia para eliminar o termo xy: interpretar a parte quadrática como forma quadrática associada à matriz simétrica
M=\begin{pmatrix}A & B/2\\[4pt] B/2 & C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix},
pois a expressão 2x^{2}-4xy-1y^{2} pode ser escrita como \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Eliminar o termo misto é o mesmo que diagonalizar essa matriz por uma mudança ortogonal de variáveis (uma rotação). Vou diagonalizar M encontrando seus autovalores e autovetores: isso dá diretamente a equação sem termo misto em coordenadas rotacionadas.]

Passo 4

Calcular os autovalores \lambda de M resolvendo \det(M-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -2\\[4pt]-2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)(-2).
Calculemos:
(2-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^{2}-\lambda-2,
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\lambda^{2}-\lambda-2-4=\lambda^{2}-\lambda-6=0.
Resolvendo a quadrática:
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=3,\qquad \lambda_{2}=-2.]

Passo 5

Agora encontramos autovetores correspondentes.
Para \lambda_{1}=3, resolvemos (M-3I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0:
\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]-2 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação -x-2y=0 obtemos x=-2y. Um autovetor conveniente é
v_{1}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-2, resolvemos (M+2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0:
\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação 4x-2y=0 obtemos y=2x. Um autovetor conveniente é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Note que v_{1}\cdot v_{2}=(-2)\cdot 1 + 1\cdot 2=0, ou seja, são ortogonais, como esperado para matriz simétrica com autovalores distintos.]

Passo 6

Construímos vetores unitários (normalizados) para usar numa rotação ortogonal. As normas são \|v_{1}\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} e \|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. Os vetores unitários são
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad e_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Se definirmos a mudança de variáveis ortogonal (rotação)
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}e_{1} & e_{2}\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
então a forma quadrática diagonaliza:
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u & v\end{pmatrix}P^{T}MP\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u & v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0\\[4pt]0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}.]

Passo 7

Substituindo os autovalores temos a equação em coordenadas rotacionadas (u,v):
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}=6,
isto é
3u^{2}-2v^{2}=6.
Essa é a equação reduzida sem termo misto. Podemos ainda colocar na forma padrão da hipérbole dividindo por 6:
\frac{u^{2}}{2}-\frac{v^{2}}{3}=1.
Observação intuitiva: a direção do eixo transverso é dada pelo autovetor associado ao autovalor positivo \lambda_{1}=3, que aqui corresponde ao vetor (-2,1) no plano (x,y).

Resposta

Hipérbole
\displaystyle 3u^{2}-2v^{2}=6

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