(
pontos) Identifique a cônica não-degenerada representada pela equação abaixo e escreva sua equação reduzida após a eliminação do termo misto
:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação quadrática
As informações relevantes fornecidas são:
- Coeficientes da parte quadrática:
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ).
-
- Termo independente (lado direito):
.
O que se pede: - Identificar qual é a cônica não-degenerada representada por essa equação.
- Eliminar o termo misto
(ou seja, efetuar uma rotação de eixos) e escrever a equação reduzida sem termo misto.
Passo 2
Primeiro vamos identificar o tipo de cônica pelo discriminante da parte quadrática. A quantidade usada é
Substituindo os valores:
Regra rápida (útil em provas): para a forma geral
,
- se
a cônica é elipse (ou círculo), - se
é parábola, - se
é hipérbole.
Como, concluímos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
Estratégia para eliminar o termo
: interpretar a parte quadrática como forma quadrática associada à matriz simétrica
pois a expressão
pode ser escrita como
.
Eliminar o termo misto é o mesmo que diagonalizar essa matriz por uma mudança ortogonal de variáveis (uma rotação). Vou diagonalizar encontrando seus autovalores e autovetores: isso dá diretamente a equação sem termo misto em coordenadas rotacionadas.]
Eliminar o termo misto é o mesmo que diagonalizar essa matriz por uma mudança ortogonal de variáveis (uma rotação). Vou diagonalizar
Passo 4
Calcular os autovalores
de
resolvendo
.
Calculemos:
logo
Resolvendo a quadrática:
Portanto os autovalores são
Passo 5
Agora encontramos autovetores correspondentes.
Para
, resolvemos
:
Da primeira equação
obtemos
. Um autovetor conveniente é
Para
, resolvemos
:
Da primeira equação
obtemos
. Um autovetor conveniente é
Note que
, ou seja, são ortogonais, como esperado para matriz simétrica com autovalores distintos.]
Passo 6
Construímos vetores unitários (normalizados) para usar numa rotação ortogonal. As normas são
e
. Os vetores unitários são
Se definirmos a mudança de variáveis ortogonal (rotação)
então a forma quadrática diagonaliza:
Passo 7
Substituindo os autovalores temos a equação em coordenadas rotacionadas
:
isto é
Essa é a equação reduzida sem termo misto. Podemos ainda colocar na forma padrão da hipérbole dividindo por
:
Observação intuitiva: a direção do eixo transverso é dada pelo autovetor associado ao autovalor positivo
, que aqui corresponde ao vetor
no plano
.
Resposta
Hipérbole