( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre o polinômio característico da matriz B. Determine se \lambda=0 é um de seus autovalores:
B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Encontrar o polinômio característico da matriz B.
  • Determinar se \lambda=0 é um autovalor de B.
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz B. Não há mais dados ocultos: com esses elementos podemos montar \,B-\lambda I e calcular o determinante para obter o polinômio característico.]

Passo 2

Definição que vamos usar (ou seja, a “ferramenta” que aplica direto na prova): o polinômio característico de B é
p(\lambda)=\det\bigl(B-\lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade 3\times3. Um valor \lambda é autovalor de B se, e somente se, p(\lambda)=0. Então, para saber se \lambda=0 é autovalor basta avaliar p(0) e ver se é zero.

Passo 3

Escrever B-\lambda I. Subtraindo \lambda nas entradas diagonais temos
B-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular p(\lambda)=\det(B-\lambda I) usando expansão pela primeira linha (cada termo é elemento da primeira linha vezes o determinante do menor correspondente, com sinal alternado):
\begin{aligned} p(\lambda) &=\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}\\[6pt] &=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)-0= (2-\lambda)(1-\lambda),
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(1-\lambda)-0=1-\lambda,
\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0=1.
Substituindo esses resultados:
p(\lambda)=(2-\lambda)\,(2-\lambda)(1-\lambda)-(1-\lambda)+3.]

Passo 5

Expandir e simplificar p(\lambda). Primeiro calcule (2-\lambda)^2(1-\lambda). Note que (2-\lambda)^2=(\lambda-2)^2=\lambda^2-4\lambda+4. Portanto
(2-\lambda)^2(1-\lambda)=(\lambda^2-4\lambda+4)(1-\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4.
Agora substituindo na expressão de p(\lambda):
p(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4-(1-\lambda)+3.
Agrupando termos:
p(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-7\lambda+6.
Observação prática: alguns livros definem o polinômio característico como \det(\lambda I-B), que é o polinômio monico. Nesse caso teríamos
\det(\lambda I-B)=\lambda^3-5\lambda^2+7\lambda-6,
que é simplesmente -p(\lambda) para 3\times3 (porque \det(\lambda I-B)=(-1)^3\det(B-\lambda I)). Em qualquer das duas formas a raiz \lambda (autovalor) é a mesma, pois são polinômios proporcionais.

Passo 6

Determinar se \lambda=0 é autovalor: avaliar p(\lambda) em \lambda=0. Temos
p(0)=-0+0-0+6=6.
Como p(0)=6\neq0, concluímos que \lambda=0 não é raiz de p, logo não é autovalor de B.

Resposta

\det(B-\lambda I)=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-7\lambda+6
\lambda=0 não é autovalor.

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