[\mathbf{2}, \mathbf{5} Pontos ] Determine o volume do tetraedro T delimitado pelos planos x+2 y+z=2, z=2 y, x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro T limitado pelos planos
x + 2y + z = 2,\quad z = 2y,\quad x = 0,\quad y = 0.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever a região T em termos de x,y,z e montar
V = \iiint_{T} dV.

Passo 2

Para caracterizar T, notamos que x\ge0 e y\ge0. Entre as superfícies em z, a inferior é z=2y e a superior é z=2 - x - 2y. O requisito
2y \le 2 - x - 2y
implica
4y \le 2 - x \quad\Longrightarrow\quad 0 \le y \le \frac{2 - x}{4}.
Ainda, como y\ge0, deve-se ter 2 - x\ge0, ou seja 0 \le x \le 2.

Passo 3

Montamos a integral tripla em ordem dz\,dy\,dx:
V = \int_{x=0}^{2} \int_{y=0}^{\frac{2-x}{4}} \int_{z=2y}^{\,2 - x - 2y} dz\;dy\;dx.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=2y}^{2 - x - 2y} dz = \bigl[(z)\bigr]_{2y}^{2 - x - 2y} = 2 - x - 4y.
Logo
V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{2-x}{4}} (2 - x - 4y)\;dy\;dx.

Passo 4

Integramos em y:
\int_{0}^{\frac{2-x}{4}} (2 - x - 4y)\,dy = \bigl[(2-x)y - 2y^2\bigr]_{0}^{\frac{2-x}{4}} = \frac{(2-x)^2}{4} - 2\cdot\frac{(2-x)^2}{16} = \frac{(2-x)^2}{8}.
Assim
V = \int_{0}^{2} \frac{(2-x)^2}{8}\;dx.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{2} (2-x)^2\,dx = \left[-\frac{(2-x)^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3},
então
V = \frac{1}{8}\cdot\frac{8}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

O volume do tetraedro T é
\boxed{\frac{1}{3}}.

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