Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (k)-\operatorname{sen}(k)}{k \cdot \sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(k)-\operatorname{sen}(k)}{k\cdot\sqrt{k}}
é convergente e, em caso afirmativo, se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente. O conteúdo principal aqui é o teste da série p e o teste de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro note que k\cdot\sqrt{k}=k^{3/2}, de modo que o termo geral pode ser escrito como
a_k=\frac{\cos(k)-\operatorname{sen}(k)}{k^{3/2}}.
Para estudar convergência absoluta, consideramos
|a_k|=\frac{|\cos(k)-\operatorname{sen}(k)|}{k^{3/2}}.
Como |\cos(k)|\le1 e |\operatorname{sen}(k)|\le1, temos
|\cos(k)-\operatorname{sen}(k)|\le|\cos(k)|+|\operatorname{sen}(k)|\le2,
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|a_k|\le\frac{2}{k^{3/2}}.

Passo 3

A série de comparação
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k^{3/2}}
é uma série p com p=\tfrac32>1, o que implica convergência. Pelo teste da comparação, a série de termos positivos \sum|a_k| converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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