Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n}}{n+1}
Veremos primeiro se ela converge absolutamente (checando a série de módulos) e depois se, ainda sem convergir absolutamente, ela converge condicionalmente, usando o critério de Leibniz para séries alternantes.
e a série \sum 1/\sqrt{n} é uma p-série com p=\tfrac12<1, logo diverge. Pelo teste da comparação assintótica, \sum \sqrt{n}/(n+1) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante original. Definimos
que é negativa para todo x>1. Logo (b_{n}) é decrescente a partir de n=2.
Como b_{n}\to0 e b_{n} é decrescente, o critério de Leibniz garante convergência da série alternante.
Resposta
A série converge, mas não absolutamente; portanto a convergência é condicional.