Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{\sqrt{n}}{n+1}
Veremos primeiro se ela converge absolutamente (checando a série de módulos) e depois se, ainda sem convergir absolutamente, ela converge condicionalmente, usando o critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+1}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Para grandes n,
\frac{\sqrt{n}}{n+1}\sim \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}},
e a série \sum 1/\sqrt{n} é uma p-série com p=\tfrac12<1, logo diverge. Pelo teste da comparação assintótica, \sum \sqrt{n}/(n+1) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante original. Definimos
b_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n+1}.
  1. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty} b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}=0,
pois o denominador cresce mais rápido.
2. Monotonia: considere a função contínua
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1},\quad x\ge1.
Seu derivada é
f'(x) =\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{2}},
que é negativa para todo x>1. Logo (b_{n}) é decrescente a partir de n=2.
Como b_{n}\to0 e b_{n} é decrescente, o critério de Leibniz garante convergência da série alternante.

Resposta

A série converge, mas não absolutamente; portanto a convergência é condicional.

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