( \mathbf{2 , 0} pontos) Equações separáveis:
Resolva o PVI: \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}-e^{x}}{2 y-5} ; y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - e^x}{2y - 5},\quad y(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis x e y, integrar em cada lado e depois aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo (2y - 5)\,dy no lado de y e (3x^2 - e^x)\,dx no lado de x:
(2y - 5)\,dy = (3x^2 - e^x)\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo:
\int(2y - 5)\,dy = \int 2y\,dy - \int 5\,dy = y^2 - 5y + C_1.
No lado direito:
\int(3x^2 - e^x)\,dx = \int 3x^2\,dx - \int e^x\,dx = x^3 - e^x + C_2.
Igualando e reunindo a constante num único C, obtemos
y^2 - 5y = x^3 - e^x + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1:
1^2 - 5\cdot1 = 0^3 - e^0 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 - 5 = 0 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad -4 = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -3.

Passo 5

A solução implícita fica
y^2 - 5y = x^3 - e^x - 3.
Para obter y explicitamente, resolva a equação quadrática em y:
y^2 - 5y - \bigl(x^3 - e^x - 3\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5 \pm \sqrt{25 +4\bigl(x^3 - e^x -3\bigr)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{4x^3 -4e^x +13}}{2}.

Passo 6

Para escolher o sinal, avalie em x=0:
\sqrt{4\cdot0^3 -4e^0 +13} = \sqrt{-4 +13} = 3.
As duas raízes são \tfrac{5+3}{2}=4 e \tfrac{5-3}{2}=1. Como y(0)=1, devemos tomar o sinal “ -” na fórmula.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{5 - \sqrt{4x^3 - 4e^x + 13}}{2}.}

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