(\mathbf{2}, \mathbf{0}) pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, y(1)=0.
y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, y(1)=0.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante, pois a equação está na forma
onde
e
.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, logo
Passo 3
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim a solução geral é
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Substituindo em
, obtemos a solução particular.