(\mathbf{2}, \mathbf{0}) pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2y = t\,e^{-2t},
com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante, pois a equação está na forma
y' + p(t)\,y = g(t),
onde p(t)=2 e g(t)=t\,e^{-2t}.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.
Multiplicando toda a equação por \mu(t), obtemos
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{2t}y, logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) = t.

Passo 3

Integramos em relação a t:
e^{2t}y = \int t\,dt = \tfrac{t^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Assim a solução geral é
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\tfrac{t^2}{2} + C\Bigr).

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = y(1) = e^{-2}\Bigl(\tfrac{1^2}{2} + C\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2} + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.
Substituindo em y(t), obtemos a solução particular.

Resposta

y(t) = \frac{t^2 - 1}{2}\,e^{-2t}.

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