( \mathbf{2 , 0} pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+9,25 y=0, com y(0)=2, y^{\prime}(0)=8.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + 9,25\,y = 0
e as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=8.
O conteúdo é determinação da solução geral via equação característica e ajuste dos parâmetros pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + r + 9,25 = 0.
O discriminante é \Delta = 1 - 4\cdot1\cdot9,25 = -36, logo as raízes são
r = \frac{-1\pm\sqrt{-36}}{2} = -\tfrac12 \pm 3\,\mathrm{i}.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = \alpha\pm\mathrm{i}\beta com \alpha=-\tfrac12, \beta=3, a solução geral é
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\bigr) = e^{-t/2}\bigl(A\cos3t + B\sin3t\bigr).
Impondo y(0)=2 obtemos
y(0)=A=2.

Passo 4

Derivando y(t) obtemos
y'(t) = e^{-t/2}\Bigl(-\tfrac12(A\cos3t+B\sin3t)-3A\sin3t+3B\cos3t\Bigr).
Em t=0 isso vira
y'(0) = -\tfrac12 A + 3B = 8.
Substituindo A=2 -1 + 3B = 8, logo 3B=9 e B=3.

Resposta

y(t) = e^{-t/2}\bigl(2\cos3t + 3\sin3t\bigr).

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