( \mathbf{2 , 0} pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0, \operatorname{com} y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' - 4y = 0,\quad y(0)=2,\;y'(0)=-1.
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO, trocando y por e^{\lambda x}:
\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática, achamos as raízes \lambda.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara ou fatorando, temos
\lambda^2 -3\lambda -4 = (\lambda-4)(\lambda+1)=0
de onde surgem as raízes
\lambda_1=4 e \lambda_2=-1.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x}.

Passo 6

Impondo as condições iniciais em x=0:
  • Para y(0)=2:
y(0) = C_1 + C_2 = 2.
  • Para y'(0)=-1:
y'(0) = 4C_1 - C_2 = -1.

Passo 7

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\\ 4C_1 - C_2 = -1, \end{cases}
somamos as duas equações para eliminar C_2:
5C_1 = 1 \;\Rightarrow\; C_1 = \tfrac{1}{5}.
Então
C_2 = 2 - C_1 = 2 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{9}{5}.

Resposta

y(x) = \tfrac{1}{5}e^{4x} + \tfrac{9}{5}e^{-x}.

Exercícios relacionados