( \mathbf{2 , 0} pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo: y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0, \operatorname{com} y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' - 4y = 0,\quad y(0)=2,\;y'(0)=-1.
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado à EDO, trocando y por e^{\lambda x}:
\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática, achamos as raízes \lambda.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara ou fatorando, temos
\lambda^2 -3\lambda -4 = (\lambda-4)(\lambda+1)=0
de onde surgem as raízes \lambda_1=4 e \lambda_2=-1.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.