[ \mathbf{2 4} pontos] Uma escola fundamental oferece três cursos de línguas: um de espanhol, um de francês e outro de alemão. As classes estão abertas para todos os 100 estudantes da escola. Há 28 estudantes na classe de espanhol, 26 na classe de francês e 16 na classe de alemão. Há 12 estudantes que fazem aulas de espanhol e francês, 4 que fazem aulas de espanhol e alemão, e 6 que fazem aulas de francês e alemão. Além disso, há 2 estudantes fazendo os três cursos. Se um estudante e escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que:
a. [6 pontos] ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
b. [ \mathbf{6} pontos] ele ou ela esteja fazendo exatamente um curso de línguas?
c. [ \mathbf{6} pontos] ele ou ela faça espanhol dado que ele faz pelo menos um dos 3 cursos ofertados?
d. [6 pontos] fazer espanhol e fazer alemão são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma escola com 100 estudantes nos cursos de espanhol ( S), francês ( F) e alemão ( G). Sabemos:
|S|=28,\quad |F|=26,\quad |G|=16,
|S\cap F|=12,\quad |S\cap G|=4,\quad |F\cap G|=6,
|S\cap F\cap G|=2.
Pede-se:
a) probabilidade de não estar em nenhum curso;
b) probabilidade de fazer exatamente um curso;
c) probabilidade de fazer espanhol dado que faz pelo menos um;
d) classificar os eventos “fazer espanhol” e “fazer alemão”.
Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão, definições de probabilidade e independência.

Passo 2

Para a letra (a), calculamos primeiro o total de estudantes que fazem pelo menos um curso:
|S\cup F\cup G| =|S|+|F|+|G| -\bigl(|S\cap F|+|S\cap G|+|F\cap G|\bigr) +|S\cap F\cap G|.
Substituindo,
|S\cup F\cup G| =28+26+16-(12+4+6)+2 =50.
Logo o número de estudantes em nenhum curso é 100-50=50, e a probabilidade pedida é
\frac{50}{100}=0,5.

Passo 3

Para a letra (b), contamos os que fazem exatamente um curso. Por exemplo, só espanhol:
|S\text{-only}| =|S| - |S\cap F| - |S\cap G| + |S\cap F\cap G| =28-12-4+2=14.
Analogamente,
|F\text{-only}|=26-12-6+2=10, \quad |G\text{-only}|=16-4-6+2=8.
Total de exatamente um curso é 14+10+8=32, então
\text{prob(exatamente um)}=\frac{32}{100}=0,32.

Passo 4

Para a letra (c), queremos
P\bigl(S\mid S\cup F\cup G\bigr) =\frac{|S\cap(S\cup F\cup G)|}{|S\cup F\cup G|} =\frac{|S|}{50} =\frac{28}{50}=0,56.

Passo 5

Para a letra (d), comparamos:
P(S\cap G)=\frac{4}{100}=0,04, \quad P(S)\,P(G)=\frac{28}{100}\cdot\frac{16}{100}=0,0448.
Como P(S\cap G)\neq P(S)P(G), os eventos não são independentes. Além disso P(S\cap G)>0, logo não são mutuamente exclusivos. Portanto, são eventos dependentes (e não mutuamente exclusivos).

Resposta

a) 0,5
b) 0,32
c) 0,56
d) São eventos dependentes, pois
P(S\cap G)=0,04\neq P(S)\,P(G)=0,0448,
e não são mutuamente exclusivos já que P(S\cap G)>0.

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