[
pontos] Uma escola fundamental oferece três cursos de línguas: um de espanhol, um de francês e outro de alemão. As classes estão abertas para todos os 100 estudantes da escola. Há 28 estudantes na classe de espanhol, 26 na classe de francês e 16 na classe de alemão. Há 12 estudantes que fazem aulas de espanhol e francês, 4 que fazem aulas de espanhol e alemão, e 6 que fazem aulas de francês e alemão. Além disso, há 2 estudantes fazendo os três cursos. Se um estudante e escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que:
a. [6 pontos] ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
b. [
pontos] ele ou ela esteja fazendo exatamente um curso de línguas?
c. [
pontos] ele ou ela faça espanhol dado que ele faz pelo menos um dos 3 cursos ofertados?
d. [6 pontos] fazer espanhol e fazer alemão são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.
a. [6 pontos] ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
b. [
c. [
d. [6 pontos] fazer espanhol e fazer alemão são eventos dependentes, mutuamente exclusivos, ou nenhum dos dois? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma escola com
estudantes nos cursos de espanhol (
), francês (
) e alemão (
). Sabemos:
Pede-se:
a) probabilidade de não estar em nenhum curso;
b) probabilidade de fazer exatamente um curso;
c) probabilidade de fazer espanhol dado que faz pelo menos um;
d) classificar os eventos “fazer espanhol” e “fazer alemão”.
Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão, definições de probabilidade e independência.
a) probabilidade de não estar em nenhum curso;
b) probabilidade de fazer exatamente um curso;
c) probabilidade de fazer espanhol dado que faz pelo menos um;
d) classificar os eventos “fazer espanhol” e “fazer alemão”.
Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão, definições de probabilidade e independência.
Passo 2
Para a letra (a), calculamos primeiro o total de estudantes que fazem pelo menos um curso:
Substituindo,
Logo o número de estudantes em nenhum curso é
, e a probabilidade pedida é
Passo 3
Para a letra (b), contamos os que fazem exatamente um curso. Por exemplo, só espanhol:
Analogamente,
Total de exatamente um curso é
, então
Passo 4
Para a letra (c), queremos
Passo 5
Para a letra (d), comparamos:
Como
, os eventos não são independentes. Além disso
, logo não são mutuamente exclusivos. Portanto, são eventos dependentes (e não mutuamente exclusivos).
Resposta
a)
b)
c)
d) São eventos dependentes, pois
b)
c)
d) São eventos dependentes, pois
e não são mutuamente exclusivos já que
.