( \mathbf{2 5 , 0} pontos) Uma onda senoidal de comprimento de onda 20 cm se propaga na direção x com velocidade v=2,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e amplitude A=1,5 \mathrm{~cm}. Calcule:
a) ( 5,0 pontos) o período da onda.
b) ( 20,0 pontos) a velocidade transversal de um ponto na corda quando y=0,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda senoidal que se propaga na direção x com comprimento de onda \lambda=20\,\mathrm{cm}, velocidade de propagação v=2,0\,\mathrm{cm/s} e amplitude A=1,5\,\mathrm{cm}. Precisamos determinar:
a) o período T da onda;
b) a velocidade transversal \partial y/\partial t de um ponto da corda quando y=0,5\,\mathrm{cm}.

Passo 2

Para o período usamos a relação entre velocidade de propagação, comprimento de onda e período:
v=\frac{\lambda}{T}
logo
T=\frac{\lambda}{v}\,.

Passo 3

A forma mais comum da função de onda é
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr),
em que
k=\frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega=\frac{2\pi}{T}.
A velocidade transversal (derivada temporal em x fixo) é
\frac{\partial y}{\partial t} =-A\,\omega\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).

Passo 4

Quando y=0,5\,\mathrm{cm} temos
\sin\varphi=\frac{y}{A}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3},
onde \varphi=kx-\omega t. Assim
\cos\varphi =\sqrt{1-\sin^{2}\varphi} =\sqrt{1-\frac{1}{9}} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Primeiro calculemos numericamente T e \omega:
T=\frac{20}{2,0}=10\,\mathrm{s}, \quad \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{10}=0,2\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx0,628\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo em
\frac{\partial y}{\partial t} =-A\,\omega\cos\varphi =-1,5\times0,628\times\frac{2\sqrt{2}}{3} \approx-0,89\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

a) T=10\,\mathrm{s}
b) \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}\approx -0,89\,\mathrm{cm/s} (o sinal negativo indica que o ponto está se movendo no sentido de retorno em relação ao deslocamento positivo)

Exercícios relacionados