( \mathbf{2 0 , 0} pontos) Num sistema massa-mola o bloco que realiza um MHS encontra-se em A / 2 no instante t=0. Sabendo que a amplitude é A, calcule a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t=0. Quais os valores possíveis para a fase inicial do sistema -\pi / 2 \leq \varphi \leq \pi / 2 ? Considere uma solução do tipo x(t)=A \cos (\omega t+\varphi).

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) de solução
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
com amplitude A. No instante t=0 temos
x(0)=\frac{A}{2}\,.
Preciso (a) achar a razão entre energia cinética K e potencial U em t=0, e (b) determinar os valores de \varphi no intervalo -\tfrac\pi2\le\varphi\le\tfrac\pi2.

Passo 2

Da condição inicial
x(0)=A\cos\varphi=\frac{A}{2}
segue
\cos\varphi=\frac12
e, restrito a -\tfrac\pi2\le\varphi\le\tfrac\pi2, as soluções são
\varphi=+\frac\pi3 \quad\text{ou}\quad \varphi=-\frac\pi3.

Passo 3

As energias em t=0 valem
K(0)=\frac12\,m\bigl[v(0)\bigr]^2, \quad U(0)=\frac12\,k\bigl[x(0)\bigr]^2.
Como
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
temos
v(0)=-A\omega\sin\varphi, \quad x(0)=A\cos\varphi.
E usando k=m\omega^2,
K(0)=\frac12\,mA^2\omega^2\sin^2\varphi, \quad U(0)=\frac12\,m\omega^2A^2\cos^2\varphi.

Passo 4

A razão em t=0 é
\frac{K(0)}{U(0)} =\frac{\frac12\,mA^2\omega^2\sin^2\varphi}{\frac12\,m\omega^2A^2\cos^2\varphi} =\tan^2\varphi.
Como \varphi=\pm\frac\pi3 \tan\varphi=\pm\sqrt3, segue
\tan^2\varphi=3.

Resposta

A razão entre energia cinética e potencial em t=0 é
\frac{K(0)}{U(0)}=3.
Os valores possíveis de \varphi em -\tfrac\pi2\le\varphi\le\tfrac\pi2 são
\varphi=+\frac\pi3 \quad\text{ou}\quad \varphi=-\frac\pi3.

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