[ \mathbf{5 , 0} pontos] Prove que:
\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro n\ge0, os coeficientes binomiais \displaystyle \binom{n}{0} e \displaystyle \binom{n}{n} valem sempre 1.
O conteúdo envolvido é o conceito de coeficiente binomial e a definição de fatorial.

Passo 2

Pela definição de coeficiente binomial, para 0\le k\le n temos
\binom{n}{k} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
Além disso, por definição de fatorial, vale 0! = 1.

Passo 3

Aplicando k=0 na fórmula acima,
\binom{n}{0} =\frac{n!}{0!\,(n-0)!} =\frac{n!}{0!\,n!} =\frac{n!}{1\cdot n!} =1.

Passo 4

Agora aplicando k=n,
\binom{n}{n} =\frac{n!}{n!\,(n-n)!} =\frac{n!}{n!\,0!} =\frac{n!}{n!\,\cdot1} =1.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{0}=1 e \displaystyle \binom{n}{n}=1.

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