[ \mathbf{5 , 0} pontos] Prove que:
\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a chamada simetria do coeficiente binomial, ou seja, provar que escolher r elementos de um conjunto de n é o mesmo que escolher os n-r que ficam de fora. O conteúdo é a definição de coeficiente binomial em termos de fatoriais.

Passo 2

Pela definição de coeficiente binomial, temos
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.

Passo 3

Agora calculemos \binom{n}{n-r} usando a mesma definição:
\binom{n}{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!\bigl(n-(n-r)\bigr)!} = \frac{n!}{(n-r)!\,r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!} = \binom{n}{r}.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}.

Exercícios relacionados