5^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(1,0, \pi) onde f(x, y, z)=e^{1-x \cos y}+z e^{y^{2}-1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1,0,\pi). As informações dadas são:
f(x,y,z)=e^{1-x\cos y}+z\,e^{y^{2}-1}
e o ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(1,0,\pi).
As perguntas são: qual é \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0,\pi)?
Passo 2
O que significa derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}?
É a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam fixos. Na prática, para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x como se f fosse função só de x. A regra que vamos usar é a regra da cadeia para exponenciais: se temos \;h(x)=e^{g(x)}\;, então
\frac{dh}{dx}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x) é o expoente — a derivada do exponencial é o próprio exponencial vezes a derivada do expoente.
Passo 3
Aplique isso ao primeiro termo de f:
o primeiro termo é \;e^{1-x\cos y}\;. Definimos o expoente
g(x)=1-x\cos y.
Como y é tratado como constante ao derivar em x, a derivada de g em relação a x é
g'(x)=-\cos y,
pois \dfrac{d}{dx}(x\cos y)=\cos y (com sinal positivo) e o sinal negativo já vem do -x\cos y.