5^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(1,0, \pi) onde f(x, y, z)=e^{1-x \cos y}+z e^{y^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1,0,\pi). As informações dadas são:
f(x,y,z)=e^{1-x\cos y}+z\,e^{y^{2}-1}
e o ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(1,0,\pi).
As perguntas são: qual é \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0,\pi)?

Passo 2

O que significa derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}?
É a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam fixos. Na prática, para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x como se f fosse função só de x. A regra que vamos usar é a regra da cadeia para exponenciais: se temos \;h(x)=e^{g(x)}\;, então
\frac{dh}{dx}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x) é o expoente — a derivada do exponencial é o próprio exponencial vezes a derivada do expoente.

Passo 3

Aplique isso ao primeiro termo de f:
o primeiro termo é \;e^{1-x\cos y}\;. Definimos o expoente
g(x)=1-x\cos y.
Como y é tratado como constante ao derivar em x, a derivada de g em relação a x é
g'(x)=-\cos y,
pois \dfrac{d}{dx}(x\cos y)=\cos y (com sinal positivo) e o sinal negativo já vem do -x\cos y.

Passo 4

Usando a regra da cadeia para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{1-x\cos y}\bigr)=e^{1-x\cos y}\cdot(-\cos y)=-\cos y\;e^{1-x\cos y}.
Expliquei: primeiro escrevo o exponencial e^{g(x)}, replico e^{g(x)} e multiplico por g'(x).

Passo 5

O segundo termo de f é z\,e^{y^{2}-1}. Ele não depende de x (porque só aparece z e y), logo a derivada parcial em relação a x desse termo é zero:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z\,e^{y^{2}-1}\bigr)=0.

Passo 6

Somando as contribuições, obtemos a derivada parcial geral:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=-\cos y\;e^{1-x\cos y}.

Passo 7

Agora avaliamos no ponto dado (x,y,z)=(1,0,\pi). Substituímos x=1 e y=0:
\cos 0=1,
1-x\cos y = 1-1\cdot 1 = 0,
e^{1-x\cos y}=e^{0}=1.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0,\pi)=-\cos 0\;e^{0}=-1\cdot 1=-1.

Resposta

-1

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