Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{3}-4}{\tan x}-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo:
f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{3}-4}{\tan x}-4
Informações relevantes dadas:
  • A função é explicitamente \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{3}-4}{\tan x}-4.
  • Queremos f'(x), a derivada em relação a x.
  • Não há outras restrições ou pontos especiais mencionados no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do numerador, porque ali há termos semelhantes.
x^{3}+3x^{3}=4x^{3},
logo o numerador fica \displaystyle 4x^{3}-4. Portanto podemos reescrever a função como
f(x)=\frac{4x^{3}-4}{\tan x}-4.

Passo 3

É mais conveniente transformar a divisão por \tan x num produto usando a identidade \displaystyle \cot x=\frac{1}{\tan x}. Assim
f(x)=(4x^{3}-4)\cot x -4.
Isso é um produto entre a função polinomial u(x)=4x^{3}-4 e a função trigonométrica v(x)=\cot x, menos a constante -4.

Passo 4

Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (aqui explicadas de forma clara):
  • Regra da derivada de uma soma/constante: a derivada de uma constante é 0. Se C é constante, então \displaystyle \frac{d}{dx}C=0.
  • Regra do polinômio: se u(x)=x^{n}, então \displaystyle u'(x)=n x^{n-1}. Para uma combinação linear, derivamos termo a termo.
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
  • Derivadas trigonométricas básicas úteis:
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
Lembre que \displaystyle \csc x=\frac{1}{\sin x} e \displaystyle \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.

Passo 5

Identificamos u(x)=4x^{3}-4 e v(x)=\cot x. Vamos calcular u'(x) e v'(x):
  • u'(x): usando a regra do polinômio,
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}-4)=4\cdot 3x^{2}-0=12x^{2}.
  • v'(x): usando a derivada da cotangente,
v'(x)=\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto para (4x^{3}-4)\cot x:
\frac{d}{dx}\big[(4x^{3}-4)\cot x\big]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d}{dx}\big[(4x^{3}-4)\cot x\big]=12x^{2}\cot x+(4x^{3}-4)(-\,\csc^{2}x).
Como a derivada de -4 (a constante subtraída no final) é 0, a derivada total é apenas a expressão acima.

Passo 7

Organizando e, se quiser, fatorando um 4 para simplificar a escrita:
f'(x)=12x^{2}\cot x-(4x^{3}-4)\csc^{2}x.
Fatorando 4 em (4x^{3}-4)=4(x^{3}-1) e em 12x^{2}=4\cdot 3x^{2}, temos uma forma factorizada:
f'(x)=4\Big(3x^{2}\cot x-(x^{3}-1)\csc^{2}x\Big).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é um pouco mais compacta.

Resposta

f'(x)=12x^{2}\cot x-(4x^{3}-4)\csc^{2}x
ou equivalentemente
f'(x)=4\Big(3x^{2}\cot x-(x^{3}-1)\csc^{2}x\Big)

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