Questão 1 (5,0 pontos - 1,0 cada)
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo:
Informações relevantes dadas:
- A função é explicitamente
. - Queremos
, a derivada em relação a . - Não há outras restrições ou pontos especiais mencionados no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do numerador, porque ali há termos semelhantes.
logo o numerador fica
. Portanto podemos reescrever a função como
Passo 3
É mais conveniente transformar a divisão por
num produto usando a identidade
. Assim
Isso é um produto entre a função polinomial
e a função trigonométrica
, menos a constante
.
Passo 4
Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (aqui explicadas de forma clara):
- Regra da derivada de uma soma/constante: a derivada de uma constante é
. Se é constante, então . - Regra do polinômio: se
, então . Para uma combinação linear, derivamos termo a termo. - Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
.
- Derivadas trigonométricas básicas úteis:
Lembre que
e
.
Passo 5
Identificamos
e
. Vamos calcular
e
:
-
: usando a regra do polinômio,
-
: usando a derivada da cotangente,
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto para
:
Substituindo
:
Como a derivada de
(a constante subtraída no final) é
, a derivada total é apenas a expressão acima.
Passo 7
Organizando e, se quiser, fatorando um
para simplificar a escrita:
Fatorando
em
e em
, temos uma forma factorizada:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é um pouco mais compacta.
Resposta
ou equivalentemente