( \mathbf{2 5} pontos) verifique se os subconjuntos a seguir são subespaço vetoriais. Em caso afirmativo exibir uma base.
a. A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 x\right\}
b. B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 x\right. e \left.z=0\right\}
c. C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x-y+3 z=0\right\}
d. A \cap B
e. B \cap C

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os subconjuntos listados são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3 e, se forem, exibir uma base. Os conjuntos dados são:
  • A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=3x\right\}.
  • B=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=5x \text{ e } z=0\right\}.
  • C=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x-y+3z=0\right\}.
  • A\cap B.
  • B\cap C.
O que é pedido, portanto, para cada item (a)–(e) é:
  • Determinar se o conjunto é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
  • Se for subespaço, fornecer explicitamente uma base (um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço).

Passo 2

Regra que vou usar para verificar subespaço (explicação didática):
Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se satisfizer estas três propriedades:
  1. S contém o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0).
  2. S é fechado sob soma: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in S então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\mathbf{u}\in S.
Comentário curto e útil: quando o conjunto é definido por equações lineares homogêneas (da forma A\mathbf{x}=\mathbf{0}) isso já garante subespaço. Outra técnica prática é parametrizar os vetores do conjunto como combinação linear de alguns vetores; isso mostra que o conjunto é o span (ou subespaço gerado) desses vetores. Se esses vetores forem linearmente independentes, eles formam uma base.
Vou aplicar essas ideias item por item, mostrando parametrização, fechamento e dando uma base quando possível.

Passo 3

Analisar A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=3x\right\}.
  • Escrever um vetor genérico de A. Como a condição é y=3x, qualquer vetor em A tem a forma
(x,y,z)=(x,3x,z).
  • Parametrizar por parâmetros x e z. Tomando x e z como parâmetros livres,
(x,3x,z)=x(1,3,0)+z(0,0,1).
Isto mostra que todo vetor de A é combinação linear dos vetores (1,3,0) e (0,0,1); ou seja,
A=\operatorname{span}\{(1,3,0),(0,0,1)\}.
  • Verificar subespaço: o span de quaisquer vetores sempre contém \mathbf{0} e é fechado sob soma e multiplicação escalar, portanto A é subespaço vetorial.
  • Verificar independência linear (para confirmar que os dois vetores formam base): suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,3,0)+\beta(0,0,1)=(0,0,0).
Isso dá as equações \alpha=0, 3\alpha=0 e \beta=0. Logo \alpha=\beta=0, portanto os vetores são linearmente independentes.
Conclusão do item (a): A é subespaço e \{(1,3,0),(0,0,1)\} é uma base.

Passo 4

Analisar B=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=5x \text{ e } z=0\right\}.
  • Escrever um vetor genérico de B. As condições y=5x e z=0 implicam
(x,y,z)=(x,5x,0).
  • Parametrizar por parâmetro x:
(x,5x,0)=x(1,5,0).
Isto mostra que todo vetor de B é múltiplo do vetor (1,5,0), ou seja
B=\operatorname{span}\{(1,5,0)\}.
  • Verificar subespaço: novamente, qualquer conjunto que é span de vetores é subespaço; contém o zero (quando x=0) e é fechado sob soma e escalares.
  • Verificar independência: o vetor (1,5,0) não é o vetor zero, então é linearmente independente por si só. A dimensão é 1.
Conclusão do item (b): B é subespaço e \{(1,5,0)\} é uma base.

Passo 5

Analisar C=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x-y+3z=0\right\}.
  • Observação: C é descrito por uma equação linear homogênea. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam subespaços (pois a soma e múltiplos de soluções continuam soluções). Mas vou parametrizar para ser mais explícito.
  • Resolver a equação para y: da equação 2x-y+3z=0 segue y=2x+3z. Então um vetor genérico em C é
(x,y,z)=(x,2x+3z,z).
  • Parametrizar por x e z:
(x,2x+3z,z)=x(1,2,0)+z(0,3,1).
Logo
C=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,3,1)\}.
  • Verificar subespaço: sendo span de dois vetores, C é subespaço.
  • Verificar independência: suponha \alpha(1,2,0)+\beta(0,3,1)=(0,0,0). Isso dá sistema \alpha=0, 2\alpha+3\beta=0, \beta=0. Da primeira e terceira equações segue \alpha=\beta=0. Logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Dimensão é 2.
Conclusão do item (c): C é subespaço e \{(1,2,0),(0,3,1)\} é uma base.

Passo 6

Analisar A\cap B.
  • Relembrando: A exige y=3x. B exige y=5x e z=0. Um vetor em A\cap B deve satisfazer simultaneamente as condições:
y=3x,\qquad y=5x,\qquad z=0.
  • Igualando as duas expressões para y: 3x=5x. Isso implica
3x-5x=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Com x=0 segue y=3x=0 e de B temos z=0. Portanto o único vetor que satisfaz tudo é
(0,0,0).
  • Conclusão sobre ser subespaço: o conjunto \{(0,0,0)\} é o subespaço trivial (contém o zero e é fechado sob soma e escalares). Portanto A\cap B é subespaço — é exatamente o subespaço nulo.
  • Base do subespaço nulo: o subespaço \{\mathbf{0}\} tem dimensão 0, e a base é o conjunto vazio \varnothing (convencionalmente dizemos que o conjunto vazio é uma base do subespaço \{0\}, pois gera o subespaço e é linearmente independente). Pode também dizer que não há vetor não-nulo na base.
Conclusão do item (d): A\cap B=\{(0,0,0)\}, subespaço trivial; base =\varnothing.

Passo 7

Analisar B\cap C.
  • Relembrando: em B temos y=5x e z=0. Em C temos 2x-y+3z=0. Um vetor em B\cap C deve satisfazer todas as três condições simultaneamente.
  • Substituir y=5x e z=0 na equação de C:
2x - y + 3z = 2x - 5x + 3\cdot 0 = -3x.
Para pertencer a C é necessário que -3x=0, o que dá x=0. Com x=0 segue y=5x=0 e z=0. Logo o único vetor em B\cap C é
(0,0,0).
  • Conclusão: B\cap C=\{(0,0,0)\}, novamente o subespaço trivial. Assim é subespaço e sua base é o conjunto vazio \varnothing.

Resposta

(a) A é subespaço. Base: \{(1,3,0),(0,0,1)\}
(b) B é subespaço. Base: \{(1,5,0)\}
(c) C é subespaço. Base: \{(1,2,0),(0,3,1)\}
(d) A\cap B=\{(0,0,0)\} (subespaço trivial). Base: \varnothing
(e) B\cap C=\{(0,0,0)\} (subespaço trivial). Base: \varnothing

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