(
pontos) verifique se os subconjuntos a seguir são subespaço vetoriais. Em caso afirmativo exibir uma base.
a.
b.
e
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os subconjuntos listados são subespaços vetoriais de
e, se forem, exibir uma base. Os conjuntos dados são:
O que é pedido, portanto, para cada item (a)–(e) é:
- Determinar se o conjunto é subespaço vetorial de
. - Se for subespaço, fornecer explicitamente uma base (um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço).
Passo 2
Regra que vou usar para verificar subespaço (explicação didática):
Um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se satisfizer estas três propriedades:
Um subconjunto
-
contém o vetor zero . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Comentário curto e útil: quando o conjunto é definido por equações lineares homogêneas (da forma
) isso já garante subespaço. Outra técnica prática é parametrizar os vetores do conjunto como combinação linear de alguns vetores; isso mostra que o conjunto é o span (ou subespaço gerado) desses vetores. Se esses vetores forem linearmente independentes, eles formam uma base.
Vou aplicar essas ideias item por item, mostrando parametrização, fechamento e dando uma base quando possível.
Passo 3
Analisar
.
- Escrever um vetor genérico de
. Como a condição é , qualquer vetor em tem a forma
- Parametrizar por parâmetros
e . Tomando e como parâmetros livres,
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
; ou seja,
-
Verificar subespaço: o span de quaisquer vetores sempre contém
e é fechado sob soma e multiplicação escalar, portanto é subespaço vetorial. -
Verificar independência linear (para confirmar que os dois vetores formam base): suponha que existam
tais que
Isso dá as equações
,
e
. Logo
, portanto os vetores são linearmente independentes.
Conclusão do item (a):
é subespaço e
é uma base.
Passo 4
Analisar
.
- Escrever um vetor genérico de
. As condições e implicam
- Parametrizar por parâmetro
:
Isto mostra que todo vetor de
é múltiplo do vetor
, ou seja
-
Verificar subespaço: novamente, qualquer conjunto que é span de vetores é subespaço; contém o zero (quando
) e é fechado sob soma e escalares. -
Verificar independência: o vetor
não é o vetor zero, então é linearmente independente por si só. A dimensão é .
Conclusão do item (b):
é subespaço e
é uma base.
Passo 5
Analisar
.
-
Observação:
é descrito por uma equação linear homogênea. Conjuntos definidos por equações lineares homogêneas formam subespaços (pois a soma e múltiplos de soluções continuam soluções). Mas vou parametrizar para ser mais explícito. -
Resolver a equação para
: da equação segue . Então um vetor genérico em é
- Parametrizar por
e :
Logo
-
Verificar subespaço: sendo span de dois vetores,
é subespaço. -
Verificar independência: suponha
. Isso dá sistema , , . Da primeira e terceira equações segue . Logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Dimensão é .
Conclusão do item (c):
é subespaço e
é uma base.
Passo 6
Analisar
.
- Relembrando:
exige . exige e . Um vetor em deve satisfazer simultaneamente as condições:
- Igualando as duas expressões para
: . Isso implica
Com
segue
e de
temos
. Portanto o único vetor que satisfaz tudo é
-
Conclusão sobre ser subespaço: o conjunto
é o subespaço trivial (contém o zero e é fechado sob soma e escalares). Portanto é subespaço — é exatamente o subespaço nulo. -
Base do subespaço nulo: o subespaço
tem dimensão , e a base é o conjunto vazio (convencionalmente dizemos que o conjunto vazio é uma base do subespaço , pois gera o subespaço e é linearmente independente). Pode também dizer que não há vetor não-nulo na base.
Conclusão do item (d):
, subespaço trivial; base
.
Passo 7
Analisar
.
-
Relembrando: em
temos e . Em temos . Um vetor em deve satisfazer todas as três condições simultaneamente. -
Substituir
e na equação de :
Para pertencer a
é necessário que
, o que dá
. Com
segue
e
. Logo o único vetor em
é
- Conclusão:
, novamente o subespaço trivial. Assim é subespaço e sua base é o conjunto vazio .
Resposta
(a)
é subespaço. Base:
(b) é subespaço. Base:
(c) é subespaço. Base:
(d) (subespaço trivial). Base:
(e) (subespaço trivial). Base:
(b)
(c)
(d)
(e)