Questāo 2 (1 ponto) Quantos anagramas da palavra ARAMAICO: -
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) começam em vogal?
b) ( 0.5 pt ) nāo têm duas letras A juntas?

Passo 1

O enunciado pede os anagramas da palavra ARAMAICO, que tem 8 letras, entre elas 3 vezes a letra A e as outras 5 letras são distintas (R, M, I, C, O). Para contar anagramas de um multiconjunto usaremos a fórmula
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}
e, na parte (b), o método das “vagas” (slots) para garantir que as A não fiquem juntas.

Passo 2

(a) Queremos o número de anagramas que começam por vogal. As vogais disponíveis são A (3 vezes), I (1 vez) e O (1 vez). Vamos separar em três casos:
  • Caso “primeira letra = A”: sobra um multiconjunto de 7 letras com 2 A’s e 5 letras distintas. O número de anagramas destes 7 é
\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520.
  • Caso “primeira letra = I”: sobra um multiconjunto de 7 letras com 3 A’s e 4 letras distintas. O número de anagramas destes 7 é
\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840.
  • Caso “primeira letra = O”: análogo ao caso I, também dá
\frac{7!}{3!} = 840.
Somando os três casos, o total é
2520 + 840 + 840 = 4200.

Passo 3

(b) Queremos anagramas em que nenhuma das três A’s fique adjacente a outra. Primeiro, arranjamos as 5 letras não-A (R, M, I, C, O), o que pode ser feito de 5! formas:
5! = 120.
Entre essas 5 letras há 6 “vagas” (antes da 1ª, entre cada par e depois da 5ª). Para não ter A juntas, colocamos cada A em uma dessas vagas distintas. O número de escolhas de 3 vagas dentre 6 é
\binom{6}{3} = 20.
Pelo princípio da multiplicação, o total de anagramas sem duas A juntas é
120 \times 20 = 2400.

Resposta

a) 4200
b) 2400

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