( \mathbf{3 , 0} ptos) Calcule as integrais usando funções Gamma e Beta
\int_{0}^{\infty} x^{2} \exp \left(-2 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-2x^{2}} \,dx
usando funções Gama e Beta. O conteúdo aqui é reconhecer como reescrever essa integral na forma de uma integral que define a função Gama, possivelmente via uma substituição adequada.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 2x^{2}
para transformar o expoente. Daí
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.
Além disso, como u=2x^2, temos x^2 = u/2. Os limites x=0 a x\to\infty viram u=0 a u\to\infty.

Passo 3

Reescrevendo x^{2}e^{-2x^{2}}\,dx em termos de u:
x^{2}e^{-2x^{2}}\,dx = \frac{u}{2}\,e^{-u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{8}\,u\,e^{-u}\,du = \frac{1}{8}\,u^{\,(3/2)-1}\,e^{-u}\,u^{1/2}\,du
mas note que u^{1}\equiv u^{(3/2)-1}\cdot u^{1/2}. Mais diretamente,
x^{2}e^{-2x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}\,u\,e^{-u}\,du = \frac{1}{8}\,u^{(3/2)-1}\,e^{-u}\,\bigl(u^{1/2}\bigr)\,du,
porém basta ver que é da forma u^{(3/2)-1}e^{-u} até constantes.

Passo 4

A integral torna-se
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-2x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}\int_{0}^{\infty}u\,e^{-u}\,du = \frac{1}{8}\,\Gamma(2),
pois \displaystyle \Gamma(2)=\int_{0}^{\infty}u^{2-1}e^{-u}\,du.

Passo 5

Sabendo que \Gamma(2)=1!\,=1, obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-2x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}\cdot 1 = \frac{1}{8}.

Passo 6

Verificando rapidez com a fórmula geral
\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\,a^{-\tfrac{n+1}{2}}\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac{n+1}{2}\Bigr),
para n=2 e a=2
\frac{1}{2}\,2^{-\tfrac{3}{2}}\,\Gamma\!\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) = \frac{1}{2\cdot2^{3/2}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4\cdot2^{3/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{8\sqrt{2}},
mas atenção: a conta da substituição direta mostrou que o expoente de u era 1, logo \Gamma(2). A forma mitiga confusões.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-2x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}.

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