(
ptos) Calcule as integrais usando funções Gamma e Beta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
usando funções Gama e Beta. O conteúdo aqui é reconhecer como reescrever essa integral na forma de uma integral que define a função Gama, possivelmente via uma substituição adequada.
Passo 2
Vamos usar a substituição
para transformar o expoente. Daí
Além disso, como
, temos
. Os limites
a
viram
a
.
Passo 3
Reescrevendo
em termos de
:
mas note que
. Mais diretamente,
porém basta ver que é da forma
até constantes.
Passo 4
A integral torna-se
pois
.
Passo 5
Sabendo que
, obtemos
Passo 6
Verificando rapidez com a fórmula geral
para
e
dá
mas atenção: a conta da substituição direta mostrou que o expoente de
era 1, logo
. A forma mitiga confusões.