Resolva as equações:
\left(a x^{2}+b\right)^{1 / 2} y^{\prime}-x y^{3}=0 para a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\sqrt{a x^{2}+b}\;y' - x\,y^{3} = 0,
onde a,b\in\mathbb{R} e a\neq0. Esse é um caso de equação separável: vamos escrever y'=\dfrac{dy}{dx}, isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Começamos isolando dy/dx:
\sqrt{a x^{2}+b}\,\frac{dy}{dx} = x\,y^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{3}} = \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\;dx.

Passo 3

Agora integramos em ambos os lados. De um lado,
\int y^{-3}\,dy = \int \frac{dy}{y^{3}} = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1}.
Do outro, usamos u = a x^{2}+b, de modo que du = 2a\,x\,dx e x\,dx = du/(2a). Logo
\int \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\,dx = \frac{1}{2a}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2a}\cdot 2\,u^{1/2} = \frac{1}{a}\sqrt{a x^{2}+b} + C_{2}.
Reunindo as duas integrais (absorvendo C_{1}-C_{2} num só C), obtemos
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \frac{1}{a}\sqrt{a x^{2}+b} + C.

Passo 4

Multiplicamos por -2 e definimos uma nova constante K=-2C:
\frac{1}{y^{2}} = K - \frac{2}{a}\sqrt{a x^{2}+b}.
Finalmente, isolamos y:
y(x) = \pm\biggl(K - \tfrac{2}{a}\sqrt{a x^{2}+b}\biggr)^{-\!1/2},
onde K é constante arbitrária de integração.

Resposta

y(x) = \pm\left(K - \frac{2}{a}\sqrt{a x^{2}+b}\right)^{-\tfrac12},
com K\in\mathbb{R} constante de integração.

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