( \mathbf{6 , 0} pts) Avalie se cada sentença a seguir é falsa (F) ou verdadeira (V), além disso, justifique cada sentença.
(a) [ ] a função f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y^{2}\right) satisfaz a equação de Laplace, isto é, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
(b) [ ] A taxa de variação da função f(x, y, z)=x y z+e^{2 x+y} no ponto P_{0}=(-1,2,1) na direção do vetor u=(1,1, \sqrt{2}) é 2+\sqrt{2}
(c) [ ] A função F(x, y)=4 x y^{2}+4 x^{3}-4 x possui um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e apenas um ponto de sela.
(d) [ ] Se \mathrm{z}=\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) definida no conjunto B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}<1\right\} é uma função contínua, então f admite um ponto de máximo ou um ponto mínimo global no conjunto B.
(e) [ ] Suponha que w=x^{2}+y^{2} \operatorname{com} x=r-s e y=r-s. Calculando as derivadas parciais de w em relação a r e s respectivamente, a partir da regra da cadeia obtemos que \frac{\partial w}{\partial r}=4 r e que \frac{\partial w}{\partial s}=4 s
(f) [ ] Se u=x^{4} y+y^{2} z^{3}, onde x=r s e^{t}, y=r s^{2} e^{-t} e z=r^{2} s \operatorname{sen}(t), o valor de \frac{\partial u}{\partial s} quando r=2 s=1, t=0 vale 190.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se cada uma das sentenças (a)–(f) é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O conteúdo envolve:
  • (a) equação de Laplace e cálculo de derivadas parciais de segunda ordem;
  • (b) derivada direcional via gradiente e normalização de vetor;
  • (c) pontos críticos e classificação via Hessiana;
  • (d) Teorema do Valor Extremo em conjuntos não compactos;
  • (e) regra da cadeia para funções de duas variáveis;
  • (f) regra da cadeia para funções de três variáveis compostas.

Passo 2

Sentença (a): f(x,y)=\ln\bigl(x^2-y^2\bigr).
Calculemos
f_x=\frac{2x}{x^2-y^2}, \quad f_{xx}=\frac{2(x^2-y^2)-2x\cdot2x}{(x^2-y^2)^2} =\frac{2x^2-2y^2-4x^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{-2x^2-2y^2}{(x^2-y^2)^2},
f_y=\frac{-2y}{x^2-y^2}, \quad f_{yy}=\frac{-2(x^2-y^2)-(-2y)\cdot(-2y)}{(x^2-y^2)^2} =\frac{-2x^2+2y^2-4y^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{-2x^2-2y^2}{(x^2-y^2)^2}.
Então
f_{xx}+f_{yy} =\frac{-2x^2-2y^2}{(x^2-y^2)^2} +\frac{-2x^2-2y^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{-4(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\neq0
em geral. Logo a equação de Laplace não é satisfeita.

Passo 3

Sentença (b): f(x,y,z)=xyz+e^{2x+y} no ponto P_0=(-1,2,1) na direção u=(1,1,\sqrt2).
Gradiente:
\nabla f=(yz+2e^{2x+y},\;xz+e^{2x+y},\;xy).
Em P_0:
\nabla f(-1,2,1) =(2+2e^0,\;-1+e^0,\;-2) =(4,0,-2).
O vetor u normalizado é
\hat u=\frac1{\sqrt{1+1+2}}(1,1,\sqrt2)=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2\bigr).
Derivada direcional:
D_{\hat u}f =\nabla f\cdot\hat u =4\cdot\tfrac12+0\cdot\tfrac12+(-2)\cdot\tfrac{\sqrt2}2 =2-\sqrt2\neq2+\sqrt2.
Logo a sentença é falsa.

Passo 4

Sentença (c): F(x,y)=4xy^2+4x^3-4x.
Pontos críticos:
F_x=4y^2+12x^2-4,\quad F_y=8xy,
F_y=0\Rightarrow x=0\text{ ou }y=0.
Se x=0, então 4y^2-4=0\Rightarrow y=\pm1.
Se y=0, então 12x^2-4=0\Rightarrow x=\pm1/\sqrt3.
Hessiana:
F_{xx}=24x,\quad F_{yy}=8x,\quad F_{xy}=8y.
Classificação:
(0, \pm 1) dão D<0 \Rightarrow sela (duas delas); (1/\sqrt3,0) D>0, F_{xx}>0 \Rightarrow mínimo; (-1/\sqrt3,0) D>0, F_{xx}<0 \Rightarrow máximo.
Há dois pontos de sela, não apenas um. Sentença falsa.

Passo 5

Sentença (d): se f é contínua em B=\{(x,y):x^2+y^2<1\} (um disco aberto), não há garantia de existência de máximo ou mínimo global pois B não é compacto. Por exemplo f(x,y)=x não atinge máximo em B. Sentença falsa.

Passo 6

Sentença (e): w=x^2+y^2 com x=r-s e y=r-s. Então
w=2(r-s)^2,
\frac{\partial w}{\partial r} =4(r-s), \quad \frac{\partial w}{\partial s} =-4(r-s),
que não coincidem com 4r e 4s. Sentença falsa.

Passo 7

Sentença (f): u=x^4y+y^2z^3,
x=rs e^t,\quad y=rs^2e^{-t},\quad z=r^2s\sin t.
Pela cadeia,
u_s =u_x\,x_s+u_y\,y_s+u_z\,z_s.
Calculando em (r,s,t)=(2,1,0):
x=2,\;y=2,\;z=0,\; x_s=2,\;y_s=4,\;z_s=0,
u_x=4x^3y=64,\; u_y=x^4+2yz^3=16,\; u_z=3y^2z^2=0.
u_s=64\cdot2+16\cdot4+0=192\neq190.
Sentença falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F

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