(
pts) Avalie se cada sentença a seguir é falsa (F) ou verdadeira (V), além disso, justifique cada sentença.
(a) [ ] a função
satisfaz a equação de Laplace, isto é,
(b) [ ] A taxa de variação da função
no ponto
na direção do vetor
é
(c) [ ] A função
possui um ponto de mínimo local, um ponto de máximo local e apenas um ponto de sela.
(d) [ ] Se
definida no conjunto
é uma função contínua, então
admite um ponto de máximo ou um ponto mínimo global no conjunto
.
(e) [ ] Suponha que
e
. Calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
respectivamente, a partir da regra da cadeia obtemos que
e que
(f) [ ] Se
, onde
e
, o valor de
quando
vale 190.
(a) [ ] a função
(b) [ ] A taxa de variação da função
(c) [ ] A função
(d) [ ] Se
(e) [ ] Suponha que
(f) [ ] Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se cada uma das sentenças (a)–(f) é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O conteúdo envolve:
- (a) equação de Laplace e cálculo de derivadas parciais de segunda ordem;
- (b) derivada direcional via gradiente e normalização de vetor;
- (c) pontos críticos e classificação via Hessiana;
- (d) Teorema do Valor Extremo em conjuntos não compactos;
- (e) regra da cadeia para funções de duas variáveis;
- (f) regra da cadeia para funções de três variáveis compostas.
Passo 2
Sentença (a):
.
Calculemos
Calculemos
Então
em geral. Logo a equação de Laplace não é satisfeita.
Passo 3
Sentença (b):
no ponto
na direção
.
Gradiente:
Gradiente:
Em
:
O vetor
normalizado é
Derivada direcional:
Logo a sentença é falsa.
Passo 4
Sentença (c):
.
Pontos críticos:
Pontos críticos:
Se
, então
.
Se , então
.
Hessiana:
Se
Hessiana:
Classificação:
(0, ) dão
sela (duas delas);
dá
,
mínimo;
dá
,
máximo.
Há dois pontos de sela, não apenas um. Sentença falsa.
(0,
Há dois pontos de sela, não apenas um. Sentença falsa.
Passo 5
Sentença (d): se
é contínua em
(um disco aberto), não há garantia de existência de máximo ou mínimo global pois
não é compacto. Por exemplo
não atinge máximo em
. Sentença falsa.
Passo 6
Sentença (e):
com
e
. Então
que não coincidem com
e
. Sentença falsa.
Passo 7
Sentença (f):
,
Pela cadeia,
Calculando em
:
Sentença falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F