(4,0 pts) Encontre o máximo e o mínimo absoluto da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no disco
Como
é contínua e
é compacto, por Teorema de Weierstrass os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira
. Vamos primeiro achar os críticos em
e depois examinar a fronteira via multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calculamos o gradiente e igualamos a zero para pontos internos:
dá
Como
, esse ponto está em
. O valor da função é
Passo 3
Para a fronteira usemos
– Caso
.
• Em
:
• Em
:
– Caso
: da segunda equação
. Substituindo na primeira:
e da fronteira
Em
:
Passo 4
Reunindo os valores obtidos:
Logo o mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
em
.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em
.
Máximo absoluto: