(4,0 pts) Encontre o máximo e o mínimo absoluto da seguinte função:
F(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x \quad \text { definida em } \quad B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
F(x,y)=x^{2}+2y^{2}-x
no disco
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1\}.
Como F é contínua e B é compacto, por Teorema de Weierstrass os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira x^2+y^2=1. Vamos primeiro achar os críticos em \mathrm{int}(B) e depois examinar a fronteira via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos o gradiente e igualamos a zero para pontos internos:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x-1=0,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=4y=0
x=\tfrac12,\quad y=0.
Como \bigl(\tfrac12\bigr)^2+0^2=\tfrac14\le1, esse ponto está em B. O valor da função é
F\bigl(\tfrac12,0\bigr)=\bigl(\tfrac12\bigr)^2-\,\tfrac12=\tfrac14-\tfrac12=-\tfrac14.

Passo 3

Para a fronteira usemos g(x,y)=x^2+y^2-1=0\) e o sistema \[\nabla F=\lambda\,\nabla g \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x-1=2\lambda x,\\\\ 4y=2\lambda y,\\\ x^2+y^2=1. \end{cases}
– Caso y=0\]: da terceira equação \(x=\pm1.
• Em (1,0):
F(1,0)=1-1=0.
• Em (-1,0):
F(-1,0)=1+1=2.
– Caso y\neq0: da segunda equação \lambda=2. Substituindo na primeira:
2x-1=4x\;\Longrightarrow\;-1=2x\;\Longrightarrow\;x=-\tfrac12,
e da fronteira
y^2=1-\bigl(-\tfrac12\bigr)^2=\tfrac34\;\Longrightarrow\;y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.
Em \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr):
F=-\tfrac12^2+2\cdot\tfrac34-(-\tfrac12) =\tfrac14+\,\tfrac32+\,\tfrac12 =\tfrac94.

Passo 4

Reunindo os valores obtidos:
-\tfrac14,\quad 0,\quad 2,\quad \tfrac94.
Logo o mínimo absoluto é -\tfrac14 em \bigl(\tfrac12,0\bigr) e o máximo absoluto é \tfrac94 em \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Resposta

Mínimo absoluto: -\tfrac14 em \bigl(\tfrac12,0\bigr).
Máximo absoluto: \tfrac94 em \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

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