(
pts) Dadas a função
faça cada item abaixo:
(a) Determine todos os pontos críticos
(b) Classifique os pontos críticos de acordo com sua natureza: máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
(a) Determine todos os pontos críticos
(b) Classifique os pontos críticos de acordo com sua natureza: máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar dois ingredientes:
- Gradiente para encontrar pontos críticos, isto é, resolver
. - Teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Da equação
vem
ou
.
Da equação vem
.
Logo, os pontos críticos são
Da equação
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Pelo teste de Sylvester em duas variáveis:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela.
Passo 5
Avaliando em cada ponto crítico:
(0,,-1):
Como
, é máximo local.
(0,,1):
Como
, é ponto de sela.
(1,,-1):
De novo
, é ponto de sela.
(1,,1):
Como
, é mínimo local.
Resposta
Pontos críticos e suas naturezas:
(0,−1): máximo local
(0,1): ponto de sela
(1,−1): ponto de sela
(1,1): mínimo local
(0,−1): máximo local
(0,1): ponto de sela
(1,−1): ponto de sela
(1,1): mínimo local