( \mathbf{6 , 0} pts) Dadas a função
h(x, y)=2 x^{3}+y^{3}-3 x^{2}-3 y
faça cada item abaixo:
(a) Determine todos os pontos críticos
(b) Classifique os pontos críticos de acordo com sua natureza: máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
h(x,y) = 2x^{3} + y^{3} - 3x^{2} - 3y
e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar dois ingredientes:
  1. Gradiente para encontrar pontos críticos, isto é, resolver \nabla h = \mathbf{0}.
  2. Teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de h:
\frac{\partial h}{\partial x} = 6x^{2} - 6x = 6x(x-1), \quad \frac{\partial h}{\partial y} = 3y^{2} - 3 = 3(y^{2}-1).
Os pontos críticos satisfazem
6x(x-1) = 0, \quad 3(y^{2}-1) = 0.

Passo 3

Da equação 6x(x-1)=0 vem x=0 ou x=1.
Da equação 3(y^{2}-1)=0 vem y=\pm1.
Logo, os pontos críticos são
(0,-1),\;(0,1),\;(1,-1),\;(1,1).

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a Hessiana:
h_{xx} = \frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}} = 12x - 6, \quad h_{yy} = \frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}} = 6y, \quad h_{xy} = h_{yx} = 0.
O determinante da Hessiana é
D(x,y) = h_{xx}\,h_{yy} - (h_{xy})^{2} = (12x-6)\,(6y).
Pelo teste de Sylvester em duas variáveis:
  • Se D>0 e h_{xx}>0, é mínimo local.
  • Se D>0 e h_{xx}<0, é máximo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.

Passo 5

Avaliando em cada ponto crítico:
(0,,-1):
h_{xx} = 12\cdot0 - 6 = -6, \quad h_{yy} = 6\cdot(-1) = -6, \quad D = (-6)\,(-6) = 36 > 0.
Como h_{xx}<0, é máximo local.
(0,,1):
h_{xx} = -6, \quad h_{yy} = 6, \quad D = (-6)\,(6) = -36 < 0.
Como D<0, é ponto de sela.
(1,,-1):
h_{xx} = 12\cdot1 - 6 = 6, \quad h_{yy} = -6, \quad D = 6\;(-6) = -36 < 0.
De novo D<0, é ponto de sela.
(1,,1):
h_{xx} = 6, \quad h_{yy} = 6, \quad D = 6\cdot6 = 36 > 0.
Como h_{xx}>0, é mínimo local.

Resposta

Pontos críticos e suas naturezas:
(0,−1): máximo local
(0,1): ponto de sela
(1,−1): ponto de sela
(1,1): mínimo local

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