(\mathbf{3 , 0} pts) Calcule os limites a seguir caso exista e justifique caso não exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x y+x-y^{2}-y}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x y+x-y^{2}-y}
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando
. O conteúdo é limite em
e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador:
Passo 3
Para
próximos de
e com
, temos
A função
é contínua num entorno de
(pois
perto de
).
Passo 4
Como
é contínua, basta avaliar em
:
Logo
.