(\mathbf{3 , 0} pts) Calcule os limites a seguir caso exista e justifique caso não exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x y+x-y^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{\,xy + x - y^{2} - y\,}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite em \mathbb R^2 e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2},
xy + x - y^{2} - y = x(y+1)-y(y+1)=(y+1)(x-y).

Passo 3

Para (x,y) próximos de (0,0) e com x\neq y, temos
f(x,y) =\frac{(x-y)^{2}}{(y+1)(x-y)} =\frac{x-y}{y+1}.
A função
g(x,y)=\frac{x-y}{y+1}
é contínua num entorno de (0,0) (pois y+1\neq0 perto de y=0).

Passo 4

Como g é contínua, basta avaliar em (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) =\frac{0-0}{0+1}=0.
Logo \lim f(x,y)=0.

Resposta

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