(\mathbf{3 , 0} pts) Calcule os limites a seguir caso exista e justifique caso não exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x y}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x y}
Passo 1
O enunciado pede o limite
para
,
e
. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar uma mudança de variáveis para simplificar a expressão.
Passo 2
Fazemos a substituição
logo
Nesse caso
Passo 3
No denominador fatoramos
Como estamos em pontos onde
, cancelamos
:
Passo 4
Agora analisamos
quando
com
e
. O produto
tende a
, logo a fração tende a
, independentemente do caminho de aproximação (fora da reta
onde a função não está definida).
Resposta
O limite não existe como número real finito; no sentido estendido,