(\mathbf{3 , 0} pts) Calcule os limites a seguir caso exista e justifique caso não exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x\,y}
para x\ge0, y\ge0 e x^{2}-x\,y\neq0. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar uma mudança de variáveis para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{x},\quad v = \sqrt{y},
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x = u^{2},\quad y = v^{2}.
Nesse caso
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x\,y} = \frac{u - v}{u^{4} - u^{2}v^{2}}.

Passo 3

No denominador fatoramos
u^{4}-u^{2}v^{2} = u^{2}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr) = u^{2}(u-v)(u+v).
Como estamos em pontos onde u\neq v, cancelamos u-v:
\frac{u-v}{u^{2}(u-v)(u+v)} = \frac{1}{u^{2}(u+v)}.

Passo 4

Agora analisamos
\frac{1}{u^{2}(u+v)}
quando (u,v)\to(0,0) com u>0 e u+v>0. O produto u^{2}(u+v) tende a 0^{+}, logo a fração tende a +\infty, independentemente do caminho de aproximação (fora da reta u=v onde a função não está definida).

Resposta

O limite não existe como número real finito; no sentido estendido,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x^{2}-x\,y} = +\infty.

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