(\mathbf{3 , 0} pts) Calcule os limites a seguir caso exista e justifique caso não exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x{4}+y{2}}

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e para verificar existência do limite vamos testar se o valor depende do caminho de aproximação a (0,0).

Passo 2

No caminho y=0 temos
f(x,0)=\frac{2x^{2}\cdot 0}{x^{4}+0^{2}}=0,
logo \displaystyle \lim_{(x,0)\to(0,0)}\frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}=0.

Passo 3

No caminho y=kx^{2}, com k\in\mathbb{R}, substituindo:
f(x,kx^{2}) =\frac{2x^{2}\,(kx^{2})}{x^{4}+(kx^{2})^{2}} =\frac{2k\,x^{4}}{x^{4}(1+k^{2})} =\frac{2k}{1+k^{2}}.
Assim \displaystyle \lim_{(x,kx^{2})\to(0,0)}f(x,y)=\frac{2k}{1+k^{2}},
que depende de k.

Passo 4

Como o valor do limite varia com o parâmetro k (por exemplo, para k=0 0 e para k=1 1), não há um único valor. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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