Sem tentar resolver as equações a seguir, classifique-as como linear, não-linear, separada, nãoseparada.
y^{\prime}=\cos (x) y-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
y' = \cos(x)\,y - \sin(x)
segundo dois critérios:
  1. É uma equação linear ou não-linear?
  2. É uma equação separável ou não separável?
Para isso, lembramos que:
  • Uma equação de 1ª ordem é linear em y se aparecer na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
com p e q funções apenas de x. Caso contrário, é não-linear.
  • Uma equação é separável se puder ser escrita como
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y),
ou seja, o lado direito é produto de função só de x por função só de y.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão de linear de 1ª ordem:
y' - \cos(x)\,y = -\sin(x).
Aqui p(x) = -\cos(x) e q(x) = -\sin(x), ambas funções apenas de x. Portanto é uma equação linear em y.

Passo 3

Para verificar separabilidade, tentamos ver se
\cos(x)\,y - \sin(x)
se fatoriza em f(x)\,g(y). Como há um termo -\sin(x) que independe de y, não é possível escrever todo o lado direito como produto de uma função só de x por uma só de y. Logo, a equação não é separável.

Resposta

A equação é linear e não separável.

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