Sem tentar resolver as equações a seguir, classifique-as como linear, não-linear, separada, nãoseparada.
y^{\prime}=x \cos (y)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a equação diferencial de primeira ordem \displaystyle y' = x \cos(y)
nos critérios de linearidade (linear ou não-linear) e de separabilidade (separável ou não separável). Para isso, vamos lembrar:
– Uma ED é linear em y se puder ser escrita como
y' + p(x)\,y = q(x).
– Uma ED é separável se puder ser colocada na forma
\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y),
permitindo escrever
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx.

Passo 2

Testando linearidade: na equação dada temos o termo \cos(y), que é uma função não linear de y. Não existe forma de escrever \cos(y) como p(x)\,y + q(x).
Logo, a equação é não-linear.

Passo 3

Testando separabilidade: reescrevendo
\frac{dy}{dx} = x \,\cos(y),
vemos que o lado direito é produto de uma função de x (que é x) por uma função de y (que é \cos(y)). Podemos então separar as variáveis:
\frac{1}{\cos(y)}\,dy = x\,dx.
Logo, a equação é separável.

Resposta

Não-linear e separável.

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