( \mathbf{1} pts)Considere a sequência definida por seus primeiros termos:
a_{1}=\frac{1}{2}, \quad a_{2}=\frac{2}{6}, \quad a_{3}=\frac{3}{12}, \quad a_{4}=\frac{4}{20}, \quad a_{5}=\frac{5}{30}
(a) Determine uma expressão geral para o n-ésimo termo a_{n}.
(b) Verifique se a sequência a_{n} converge, caso venha convergir, determine o limite.

Passo 1

O enunciado fornece os primeiros termos da sequência:
a_{1}=\frac{1}{2},\qquad a_{2}=\frac{2}{6},\qquad a_{3}=\frac{3}{12},\qquad a_{4}=\frac{4}{20},\qquad a_{5}=\frac{5}{30}.
O que se pede:
(a) Determinar uma expressão geral para o n-ésimo termo a_{n}.
(b) Verificar se a sequência (a_{n}) converge e, em caso afirmativo, determinar o limite.

Passo 2

Vamos olhar com calma para os termos dados e identificar o padrão nas frações. Para cada índice n (começando em 1) vemos:
\begin{aligned} a_{1}&=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2},\\[4pt] a_{2}&=\dfrac{2}{6}=\dfrac{2}{2\cdot 3},\\[4pt] a_{3}&=\dfrac{3}{12}=\dfrac{3}{3\cdot 4},\\[4pt] a_{4}&=\dfrac{4}{20}=\dfrac{4}{4\cdot 5},\\[4pt] a_{5}&=\dfrac{5}{30}=\dfrac{5}{5\cdot 6}. \end{aligned}
Ou seja, parece que o numerador é n e o denominador é n(n+1) para cada n.]

Passo 3

Com base na observação do passo anterior, uma expressão natural para o n-ésimo termo é
a_{n}=\frac{n}{n(n+1)}.
Agora simplificamos essa expressão. Como n é diferente de zero para os termos da sequência (começamos em n=1), podemos cancelar o fator n no numerador e no denominador:
a_{n}=\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}.
Portanto a forma simplificada e conveniente do termo geral é \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, para n\ge 1.

Passo 4

Vamos confirmar que essa fórmula realmente gera os termos fornecidos: substituindo n=1,2,3,4,5 em \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, obtemos
a_{1}=\frac{1}{2},\quad a_{2}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6},\quad a_{3}=\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\quad a_{4}=\frac{1}{5}=\frac{4}{20},\quad a_{5}=\frac{1}{6}=\frac{5}{30},
que coincidem com os termos originais. Assim a expressão \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, é correta.

Passo 5

Agora vamos estudar a convergência da sequência (a_{n}). A expressão que encontramos é
a_{n}=\frac{1}{n+1}.
Intuição: conforme n cresce, n+1 cresce sem limite, e uma fração com numerador fixo 1 e denominador que cresce tende a 0. Formalmente, para mostrar que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 podemos usar a definição com \varepsilon:
Dado \varepsilon>0, queremos um N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N valha
\left|a_{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n+1}\right|<\varepsilon.
Como \dfrac{1}{n+1} é positivo, a desigualdade é \dfrac{1}{n+1}<\varepsilon. Isso equivale a
n+1>\frac{1}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{1}{\varepsilon}-1.
Portanto basta escolher um inteiro N maior que \dfrac{1}{\varepsilon}-1 (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil funciona). Com essa escolha, para todo n\ge N teremos \dfrac{1}{n+1}<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 6

Complemento intuitivo e qualitativo (útil na prova/na prova oral): a sequência \left(\dfrac{1}{n+1}\right) é positiva, estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0. Uma sequência decrescente e limitada converge; o único ponto que pode ser limite aqui é 0 (pois os termos tendem a valores cada vez menores), o que coincide com a demonstração por \varepsilon do passo anterior.

Resposta

(a) a_{n}=\dfrac{1}{n+1}.
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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