O que se pede:
(a) Determinar uma expressão geral para o n-ésimo termo a_{n}.
(b) Verificar se a sequência (a_{n}) converge e, em caso afirmativo, determinar o limite.
Passo 2
Vamos olhar com calma para os termos dados e identificar o padrão nas frações. Para cada índice n (começando em 1) vemos:
Ou seja, parece que o numerador é n e o denominador é n(n+1) para cada n.]
Passo 3
Com base na observação do passo anterior, uma expressão natural para o n-ésimo termo é
a_{n}=\frac{n}{n(n+1)}.
Agora simplificamos essa expressão. Como n é diferente de zero para os termos da sequência (começamos em n=1), podemos cancelar o fator n no numerador e no denominador:
a_{n}=\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}.
Portanto a forma simplificada e conveniente do termo geral é \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, para n\ge 1.
Passo 4
Vamos confirmar que essa fórmula realmente gera os termos fornecidos: substituindo n=1,2,3,4,5 em \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, obtemos
que coincidem com os termos originais. Assim a expressão \,a_{n}=\dfrac{1}{n+1}\, é correta.
Passo 5
Agora vamos estudar a convergência da sequência (a_{n}). A expressão que encontramos é
a_{n}=\frac{1}{n+1}.
Intuição: conforme n cresce, n+1 cresce sem limite, e uma fração com numerador fixo 1 e denominador que cresce tende a 0. Formalmente, para mostrar que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 podemos usar a definição com \varepsilon:
Dado \varepsilon>0, queremos um N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N valha
Portanto basta escolher um inteiro N maior que \dfrac{1}{\varepsilon}-1 (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil funciona). Com essa escolha, para todo n\ge N teremos \dfrac{1}{n+1}<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Passo 6
Complemento intuitivo e qualitativo (útil na prova/na prova oral): a sequência \left(\dfrac{1}{n+1}\right) é positiva, estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0. Uma sequência decrescente e limitada converge; o único ponto que pode ser limite aqui é 0 (pois os termos tendem a valores cada vez menores), o que coincide com a demonstração por \varepsilon do passo anterior.