(1.0 pontos) Resolva: k, T são constantes.
\left\{\begin{array}{ll} \frac{d N}{d t}=k \cdot N \cdot\left(1-\frac{N}{T}\right) \\\ N(0)=N_{o} \end{array}, \quad N=N(t)\right.
Marque a resposta correta.
\begin{aligned} & (\quad) N(t)=\frac{T N_{O}}{N_{O}+\left(T-N_{O}\right) e^{-k t}} \\ & (\quad) N(t)=\frac{T^{2} N_{O}}{N_{O}+\left(T-N_{O}\right) e^{-k t}} \\ & (\quad) N(t)=\frac{T N_{O} e^{-k t}}{N_{O}+\left(T-N_{O}\right)} \\ & (\quad) N(t)=\frac{N_{O}}{N_{O}+\left(T-N_{O}\right) e^{-k t}} \\ & (\quad) \text { n.r.a. } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial logística
\frac{dN}{dt}=k\,N\Bigl(1-\frac{N}{T}\Bigr),
com condição inicial N(0)=N_{0}. O conteúdo usado será equação diferencial separável e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
\frac{dN}{N\bigl(1-\tfrac{N}{T}\bigr)}=k\,dt.

Passo 3

Reescrevemos o denominador para facilitar a decomposição:
\frac{1}{N\bigl(1-\tfrac{N}{T}\bigr)} =\frac{T}{N\,(T-N)} =\frac{1}{T}\Bigl(\frac{1}{N}+\frac{1}{T-N}\Bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dN}{N\bigl(1-\tfrac{N}{T}\bigr)} =\frac{1}{T}\int\Bigl(\frac{1}{N}+\frac{1}{T-N}\Bigr)dN =\frac{1}{T}\bigl(\ln|N|-\ln|T-N|\bigr)+C.
Logo
\ln\frac{N}{T-N}=k\,t+C'.

Passo 5

Usamos N(0)=N_{0} para achar C':
\ln\frac{N_{0}}{T-N_{0}}=C',
então
\ln\frac{N}{T-N} =\ln\frac{N_{0}}{T-N_{0}}+k\,t \;\Longrightarrow\; \frac{N}{T-N}=\frac{N_{0}}{T-N_{0}}\,e^{k\,t}.

Passo 6

Isolamos N. Invertendo e manipulando:
\frac{T-N}{N} =\frac{T-N_{0}}{N_{0}}\,e^{-k\,t} \;\Longrightarrow\; \frac{T}{N}=1+\frac{T-N_{0}}{N_{0}}\,e^{-k\,t} =\frac{N_{0}+(T-N_{0})e^{-k\,t}}{N_{0}}.
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N(t) =\frac{T\,N_{0}}{\,N_{0}+(T-N_{0})e^{-k\,t}\,}.

Resposta

N(t)=\frac{T\,N_{0}}{N_{0}+(T-N_{0})e^{-k\,t}}

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